obliczanie sin[4a]

[jacek89]

Witam,

W jaki sposób wyznaczyć wzór na \(\displaystyle{ sin(4\alpha)}\) korzystając ze wzoru Moivre'a ?

Pozdrawiam,
Jacek

[meninio]

Jeśli:

\(\displaystyle{ z=|z| \left(\cos \phi+i \sin \phi \right)}\)

To zachodzi:

\(\displaystyle{ z^n=|z|^n \left(\cos (n\phi)+i \sin (n\phi) \right)}\)

Weźmy \(\displaystyle{ n=4}\) i mamy:

\(\displaystyle{ z^4=|z|^4 \left(\cos (4\phi)+i \sin (4\phi) \right)}\)

Z drugiej strony nie korzystając ze wzorów moivre'a mamy:

\(\displaystyle{ z^4=|z|^4 \left(\cos \phi+i \sin\phi \right)^4=|z|^4 \left(\cos^4 \phi +4i\cos^3 \phi \sin \phi- 6 \cos^2 \phi \sin^2 \phi -4i\cos \phi \sin^3 \phi +\sin^4 \phi\right) \\ \\
z^4=|z|^4 \left[ \cos^4 \phi - 6 \cos^2 \phi \sin^2 +\sin^4 \phi+i(4\cos^3 \phi \sin \phi -4\cos \phi \sin^3 \phi)\right]}\)

Porównując współczynniki przy \(\displaystyle{ i}\) mamy:

\(\displaystyle{ \sin 4 \phi = 4\cos^3 \phi \sin \phi -4\cos \phi \sin^3 \phi}\)