Obliczyc liczbę zespoloną

[Dastur]

jak obliczyc cos takiego

\(\displaystyle{ \frac{2i}{1+i}}\)

i dlaczego
\(\displaystyle{ i^{3}=-1}\)

[Vigl]

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika. To standardowe postępowanie.

i^{3}=-1

That's bullshit. \(\displaystyle{ i^2=-1}\) oczywiście, a nie inaczej. \(\displaystyle{ i^3=i^3}\), ewentualnie \(\displaystyle{ i^3=-i}\).

[majster]

\(\displaystyle{ \frac{2i}{1+i} = \frac{2i}{1+i} \frac{1-i}{1-i} = \frac{2i-2i^{2}}{1-i^{2}} = \frac{2i+2}{2} = 1+i}\)

A co do tego drugiego to z tego co wiem \(\displaystyle{ i^{2} = -1}\)

[Dastur]

ok, dzięki

a jak obliczyć coś takiego:

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)

[sinpikey]

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5}\)

[soku11]

Tak to na pewno nie...
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
\sqrt{-3-4i} &\;=\;& z\\
z^2 &\;=\;& -3-4i\\
z &\;=\;& x+iy\\
(x+iy)^2 &\;=\;& -3-4i\\
x^2+2xyi-y^2 &\;=\;& -3-4i\\
x^2-y^2+i(2xy) &\;=\;& -3-4i
\end{eqnarray*}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2=-3\\2xy=-4\end{cases}\\
\begin{cases}x^2-y^2=-3\\xy=-2\end{cases}\\
y=\frac{-2}{x}\\
x^2-\left(\frac{-2}{x}\right)^2=-3\\
x^2-\frac{4}{x^2}=-3\\
x^4+3x^2-4=0\\
(x^2+4)(x^2-1)=0\\
x=1\;\;\vee\;\; x=-1\\
\begin{cases} x=1\\y=-2\end{cases}\;\;\vee\;\;\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}\\
z=1-2i\;\;\vee\;\;z=-1+2i}\)

Pozdrawiam.

[Dastur]

dzięki wszystkim

jeszcze jedno zadanko. jak obliczyć coś takiego \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{3} - i}}\)