Potrzebna pomoc z równaniem - nie sam wynik tylko sposob rozumowania.
(z�+i)[z�-(3+i)z+4]=0
Równanie
-
Malkolm
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 6 lis 2005, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 12 razy
Równanie
\(\displaystyle{ (z^{2}+i)[z^{2}-(3+i)z+4]=0 \Longleftrightarrow z^{2}+i=0}\)lub\(\displaystyle{ z^{2}-(3+i)z+4=0}\)
1)\(\displaystyle{ z^{2}+i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=-i}\)
Liczbę zespoloną -i zapiszmy w postaci trygonometrycznej. Zatem
\(\displaystyle{ -i=cos (\frac {3}{2} \pi)+i sin (\frac{3}{2} \pi)}\). Wówczas korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z_{0}=cos(\frac{\frac {3}{2} \pi+0}{2})+i sin(\frac{\frac {3}{2} \pi+0}{2})=cos(\frac {3}{4} \pi)+i sin(\frac {3}{4} \pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=cos(\frac{\frac {3}{2} \pi+2\pi}{2})+i sin(\frac{\frac {3}{2} \pi+2\pi}{2})=cos(\frac {7}{4} \pi)+i sin(\frac {7}{4} \pi)=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
2)\(\displaystyle{ z^{2}-(3+i)z+4=0}\)
Wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(\displaystyle{ \Delta=(3+i)^{2}-16=9+i6-1-16=-8+i6}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-8+i6}}\)
Z definicji pierwiastka z liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \sqrt{-8+i6}=x+iy}\), gdzie x,y są liczbami rzeczywistymi
Zatem \(\displaystyle{ -8+i6=x^{2}-y^{2}+i2xy}\).
Dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}}\) są równe, jeżeli \(\displaystyle{ re z_{1}=re z_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ im z_{1}=im z_{2}}\).
Porównujemy części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych i otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}x^2-y^2=-8 \\ 2xy=6\end{array}\right.}\), którego rozwiązaniem jest para liczb (-1,-3) lub (1,3).
Stąd \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=-1+i(-3)}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1+i3}\).
Ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{(3+i)+(1+i3)}{2}=\frac{4+i4}{2}=2+i2}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{(3+i)-(1+i3)}{2}=\frac{2+i(-2)}{2}=1+i(-1)}\)
Reasumując:
Rozwiązaniami danego równania są liczby zespolone:
\(\displaystyle{ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ z=2+i2}\)
lub
\(\displaystyle{ z=1+i(-1)}\).
1)\(\displaystyle{ z^{2}+i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=-i}\)
Liczbę zespoloną -i zapiszmy w postaci trygonometrycznej. Zatem
\(\displaystyle{ -i=cos (\frac {3}{2} \pi)+i sin (\frac{3}{2} \pi)}\). Wówczas korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z_{0}=cos(\frac{\frac {3}{2} \pi+0}{2})+i sin(\frac{\frac {3}{2} \pi+0}{2})=cos(\frac {3}{4} \pi)+i sin(\frac {3}{4} \pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=cos(\frac{\frac {3}{2} \pi+2\pi}{2})+i sin(\frac{\frac {3}{2} \pi+2\pi}{2})=cos(\frac {7}{4} \pi)+i sin(\frac {7}{4} \pi)=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
2)\(\displaystyle{ z^{2}-(3+i)z+4=0}\)
Wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(\displaystyle{ \Delta=(3+i)^{2}-16=9+i6-1-16=-8+i6}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-8+i6}}\)
Z definicji pierwiastka z liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \sqrt{-8+i6}=x+iy}\), gdzie x,y są liczbami rzeczywistymi
Zatem \(\displaystyle{ -8+i6=x^{2}-y^{2}+i2xy}\).
Dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}}\) są równe, jeżeli \(\displaystyle{ re z_{1}=re z_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ im z_{1}=im z_{2}}\).
Porównujemy części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych i otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}x^2-y^2=-8 \\ 2xy=6\end{array}\right.}\), którego rozwiązaniem jest para liczb (-1,-3) lub (1,3).
Stąd \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=-1+i(-3)}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1+i3}\).
Ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{(3+i)+(1+i3)}{2}=\frac{4+i4}{2}=2+i2}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\frac{(3+i)-(1+i3)}{2}=\frac{2+i(-2)}{2}=1+i(-1)}\)
Reasumując:
Rozwiązaniami danego równania są liczby zespolone:
\(\displaystyle{ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ z=2+i2}\)
lub
\(\displaystyle{ z=1+i(-1)}\).