Obliczanie kąta "fi"

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Parker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam to wiedzieć ?
Podziękował: 1 raz

Obliczanie kąta "fi"

Post autor: Parker »

Mam do przekształcenia na postać trygonometryczną liczbę

\(\displaystyle{ z = -1 + \sqrt{3} i}\)

Z wyliczeń wychodzi mi, że

\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{-1}{2}
\\
sin \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)


I w tym momencie nie bardzo wiem o co chodzi. W powyższym przykładzie wartość kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) będzie wynosić:

\(\displaystyle{ \varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3} \pi}\)

Tylko skąd bierze się to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) ?

O ile w powyższym przykładzie tłumacze sobie, że bierze się to stąd:

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) na chłopski rozum, ponieważ \(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{3}) = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

to w poniższym przykładzie zupełnie nie wiem dlaczego jest tam \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ z = -1 - i}\)

\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{-1}{ \sqrt{2} }
\\
sin \varphi = \frac{-1}{ \sqrt{2} }}\)


\(\displaystyle{ \varphi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4} \pi}\)

I skąd to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) się wzięło ?
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Obliczanie kąta "fi"

Post autor: Szemek »

Zauważ, że dla danego \(\displaystyle{ \varphi}\) musi być spełniony układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = a \\ \sin \varphi = b \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) są pewnymi wartościami

Zatem szukasz takiej wartości dla której układ jest prawdziwy.

Przedstawiona metoda jest związana przede wszystkim z wartościami sinusa i cosinusa miary kąta należącej do pierwszej ćwiartki oraz z zastosowaniem odpowiednich wzorów redukcyjnych.

Jeżeli masz problem ze wzorami redukcyjnymi to równie dobrze możesz sobie narysować wykres sinusa i cosinusa w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\) i na wykresie szukać pożądanego \(\displaystyle{ \varphi}\)
Parker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam to wiedzieć ?
Podziękował: 1 raz

Obliczanie kąta "fi"

Post autor: Parker »

Oświeciło mnie Zapomniałem usunąć niewymierność z mianownika
ViValdis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 13 paź 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 13 razy

Obliczanie kąta "fi"

Post autor: ViValdis »

A ja tego nadal nie rozumiem.

Mam zadanie obliczyć:

\(\displaystyle{ Z=-8\sqrt{3}}\)

no i

\(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{-\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin\varphi= \frac{1}{2}}\)

teraz mam wynik \(\displaystyle{ \varphi=180 \ stopni}\) a to wychodzi \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\pi}\)

proszę wytłumaczcie mi to na chłopski rozum skąd wziąć ten te 180 stopni a potem 5/6 pi ?
K4rol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 301
Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

Obliczanie kąta "fi"

Post autor: K4rol »

narysuj to sobie w układzie współrzędnych, punkt (cos fi, sin fi) cos jako x traktujesz a sin jako y, wyjdzie Ci w której ćwiartce jest kąt, powinno wyjśc że II ;] cos sqrt3/2 osiąga dla kąta 30 stopni, a więc 90+30=120

hmm to 180 to bankowe jest? :O
ODPOWIEDZ