Pierwiastek trzeciego stopnia, pominięcie części urojonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
doktorlubicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 11 paź 2008, o 20:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

Pierwiastek trzeciego stopnia, pominięcie części urojonej

Post autor: doktorlubicz »

Witam!

Chciałbym się dowiedzieć jak właściwie zapisać ostateczny wynik pierwiastkowania.
Dostałem za zadanie policzyć pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1}}\). Nauczyciel powiedział że mają wyjść odpowiedzi:
\(\displaystyle{ Wo = 0.5}\)
\(\displaystyle{ W1 = -1}\)
\(\displaystyle{ W2 = 0.5}\)

Najpierw zacząłem od znajdowania \(\displaystyle{ K}\).
Dla \(\displaystyle{ K=0}\) wynik wyszedł \(\displaystyle{ 60^\circ}\).
Natomiast wyrażenie \(\displaystyle{ W_0= (cos60^\circ + i sin60^\circ)}\) dało mi wynik \(\displaystyle{ 0.5}\) ale tylko dla \(\displaystyle{ cos60^\circ}\).

Po dodaniu \(\displaystyle{ i sin60^\circ}\) otrzymałem wynik: \(\displaystyle{ 0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} i}\)

\(\displaystyle{ W_1}\) wychodzi prawidłowo \(\displaystyle{ -1}\).
Ale \(\displaystyle{ W_2}\) i \(\displaystyle{ W_3}\) już tak samo jak z przykładem \(\displaystyle{ W_0}\) (odpowiedź + dodatkowe wyrażenie).

Chciałbym się dowiedzieć jaka odpowiedź jest poprawna? Czy wyrażenie z \(\displaystyle{ i}\) można pominąć?
Jestem studentem I roku

Pozdrawiam!

Krótki kurs LaTeX-a - zapisywanie wyrażeń matematycznych

Przeczytaj ten kurs. Uważniej nazywaj tematy.
frej
Ostatnio zmieniony 12 paź 2008, o 11:01 przez doktorlubicz, łącznie zmieniany 1 raz.
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia, pominięcie części urojonej

Post autor: soku11 »

Oczywiscie ze nie mozna pominac... Nawet w ciele liczb rzeczywistych masz np. 5, co nie jest tym samym co 5.5. Co do samego problemu to:
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
w^k &\;=\;& -1\\
w^k &\;=\;& \cos\pi+i\sin\pi\\
w_k &\;=\;& \cos \frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin \frac{\pi+2k\pi}{3}\; k\in\{0,1,2\}\\\\
w_0&\;=\;& \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=\ldots\\
w_1&\;=\;& \cos \pi+i\sin\pi=-1\\
w_2&\;=\;& \cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}=\ldots
\end{eqnarray*}\\}\)


A ponadto z miejsca widac, ze odpowiedzi sa bledne, bo nie tworza wielokata foremnego Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia, pominięcie części urojonej

Post autor: mol_ksiazkowy »

tj \(\displaystyle{ w_0 =\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_1 =-1}\)
\(\displaystyle{ w_2 =\frac{1- i\sqrt{3}}{2}}\)
doktorlubicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 11 paź 2008, o 20:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

Pierwiastek trzeciego stopnia, pominięcie części urojonej

Post autor: doktorlubicz »

Dzięki Wam za odpowiedzi
ODPOWIEDZ