Równanie kwadratowe

[majster]

Witam, robię sobie zadania z liczb zespolonych (dopiero zaczynam ten dział) i zaciąłem się na jednym zadaniu, którego nie mogę przejść :/ Proszę o pomoc!

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające warunki:
\(\displaystyle{ z^{2} + 4i = 0}\)

Z góry dzięki i pozdrawiam Mam więcej takich zadanek, ale jak przebrnę przez to to czuje, że potem już będzie z górki!

[soku11]

\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
z^2 &\;=\;& -4i\\
z^2 &\;=\;& 4(-i)\\
z^2 &\;=\;& 4\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)\\
z_k &\;=\;& 2\left(\cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)\;\;k\in\{0,1\}\\
\\
z_0&\;=\;&2\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)=\ldots\\
\end{eqnarray*}}\)

Podstawiasz druga wartosc i wyliczasz dokladnie liczby Pozdrawiam.

[majster]

Dzięki

Ale czy nie da się jakoś dojść do tego prościej?

Bo wynik jaki ma wyjść to:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(1-i), -\sqrt{2}(1-i)}\) jakby co

[bartull@]

Można inaczej .

\(\displaystyle{ z ^{2} + 4j = 0

(x + jy) ^{2} + 4j = 0

(x ^{2} + 2jxy + j ^{2} y ^{2}) + 4j = 0

x ^{2} - y ^{2} + 2j(xy + 2) = 0

\begin{cases} x ^ {2} - y ^ {2} = 0 \\ xy = -2 \end{cases}}\)

Rozwiązujesz ten układzik. Po obliczeniu x oraz y podstawiasz do wzoru:
\(\displaystyle{ z = x + jy}\)

Soku11 skorzystał ze wzoru na pierwiastkowanie liczb zespolonych

[majster]

Dzięki, wiedziałem, że da się do zrobić prościej, doszedłem nawet do 3 linijki z tego co napisałeś tylko nie wiedziałem jak to dalej połączyć Wielkie dzięki!

edit: poszło "Pomógł" dla obojga