postać trygonometryczna

[K4rol]

\(\displaystyle{ a=4-4i\\
|a|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}\\
a=|a| \left( \cos \alpha+\sin \alpha\ i \right) \\
a=|a| \left( \frac{a}{|a|}+\frac{b}{|a|}i \right) \\
\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
no to ja bym dał
\(\displaystyle{ a=4\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4}+\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) i \right)}\)
pytanie czemu ma być \(\displaystyle{ \alpha=\frac{7\pi}{4}}\)?
wczoraj dopiero poznałem liczby zesp. więc proszę o wyrozumiałość:)

[Qń]

pytanie czemu ma być \(\displaystyle{ \alpha=\frac{7\pi}{4}}\)?

Wyłącznie ze względów estetycznych - wartością główną argumentu liczby zespolonej nazywamy tę należącą do przedziału \(\displaystyle{ [0,pi )}\) i przyjęło się jej właśnie używać w zapisie trygonometrycznym, ale nie jest błędem, jeśli zamiast \(\displaystyle{ \alpha}\) weźmie się \(\displaystyle{ \alpha +2k\pi}\), czyli dowolny inny argument różniący się o wielokrotność kąta pełnego (w naszym wypadku: \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\). Trzeba jednak pamiętać, że przy sinusie i cosinusie musi stać ten sam kąt.

Q.

[K4rol]

czyli ten zapis z \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) jest poprawny?

[Qń]

czyli ten zapis z \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) jest poprawny?

Nie, byłby poprawny, gdyby było \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\), czyli:
\(\displaystyle{ \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right)}\)

Oczywiście równość zachodzi też w zapisie, który przedstawiłeś, ale ten zapis to nie jest postać trygonometryczna liczby zespolonej (w takiej postaci kąt musi być jeden).

Q.