Liczby zespolone - różne

[klapson]

1. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające warunki:

a) \(\displaystyle{ Re z - 3 Im z = 2\\
Re (x + iy) - 3 Im (x + iy) = 2\\
x - 3y = 2}\)

I co z tym zrobić?

b) \(\displaystyle{ Re iz qslant 1\\
Re [i(x + iy)] qslant 1\\
Re (ix + i^{2}y) qslant 1\\
Re (-y + ix) qslant 1\\
-y qslant 1}\)

Znowu nie wiem co z tym zrobić...

c) \(\displaystyle{ z^{2} - 6z + 10 = 0\\
\Delta = 36 - 40 = -4\\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = \sqrt{4 (-1)} = 2\sqrt{-1} = 2i\\
z_{1} = \frac{6 - 2i}{2} = 3 - i\\
z_{2} = \overline{z} = \frac{6 - 2i}{2} = 3 - i}\)

Osobiście ten przykłąd zrobiłem za pomocą postaci kanonicznej funkcji kwadratowej i wyszło dobrze, ale czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć o co chodzi w tym sposobie?

2. Rozwiązać równania:
a) \(\displaystyle{ z + i = \overline{z + i}\\
z + i = \overline{z} + \overline{i}\\
x + iy + i = x -iy - i\\
2iy + 2i = 0\\
i(y + i) = 0}\)

Również nie wiem jaki następny ruch... (?)

3. Korzystając z interpretacji geometrycznych modułu różnicy liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki (wystarczy, że powiecie jak dojść do momentu, gdy można rysować).
a) \(\displaystyle{ |\frac{z + i}{z^{2} + 1}| qslant 1\\
\frac{|z + i|}{|z^{2} + 1|} qslant 1\\
|z + i| qslant |z^{2} + 1|\\
|z + i| qslant |z^{2} - i^{2}|\\
|z + i| qslant |(z-i)(z+i)|\\
|z+i| qslant |z-i| |z+i|\\
... (?)}\)

W poniższych dwóch przykładach nawet nie ruszyłem, wybaczcie... totalnie nie wiem jak zrobić...
b) \(\displaystyle{ |z+i| + |z-i| = 2}\)
c) \(\displaystyle{ 3|z-1| qslant |z^{2} - 1| < 6|z+1|\\
3|z-1| qslant |z - 1| |z+1| < 6|z+1|}\)

Pozdrawiam kolegów matematyków i z góry dziękuję za okazałą pomoc!

[gajatko]

1. To już jest rozwiązanie, nie trzeba nic więcej robić
a) \(\displaystyle{ x = 3y+2}\), zatem
\(\displaystyle{ z = 3t+2+it,\ \ t\in R}\)
podobine b) \(\displaystyle{ z =x+ yi,\ \ y\in[-\infty,-1]}\), co można zaznaczyć jako płaszczyznę od -i w dół.
c) to równanie jest tu potraktowane jak zwykłe równanie kwadratowe - liczymy deltę i bierzemy pierwiastki. Z tym, że masz tam błąd:
\(\displaystyle{ z_2=\overline {z_1}=3+i}\)

[ Dodano: 12 Października 2008, 17:13 ]
2.\(\displaystyle{ 2yi=-2i\\
y=-1}\)
Stąd rozwiązanie: \(\displaystyle{ z=t-i\ ;\ t\in R}\)
3. a) To są zwykłe liczby, więc można podzielić.
1' Dla \(\displaystyle{ z=-i}\):
\(\displaystyle{ 0\le |-2i|\\
0\le 2}\)
prawda, zatem z=-i spełnia nierówność
2' Dla \(\displaystyle{ z\neq -i}\):
\(\displaystyle{ 1\le|z-i|}\)
Czyli odległość z od punktu (0, i) ma być większa niż 1, co daje nam dopełnienie koła o promieniu 1 i środku (0,i).

b) Szukamy takich z, dla których suma odległości do (0,i) i (0,-i) wynosi 2. Zauważ, że sama odległość między tymi punktami wynosi 2, zatem z musi leżeć na odcinku [(0,-i)(0,i)], bo inaczej ta suma byłaby za duża (z nierówności trójkąta)!.

c) Tutaj działa ten sam schemat co dla (a)
Mamy dwa warunki:
\(\displaystyle{ |z+1|\ge3\\
|z-1|}\)
Co daje nam koło bez brzegu \(\displaystyle{ o[(1,0); 6]}\) z wyciętym kołem \(\displaystyle{ o[(-1,0); 3]}\).

[klapson]

Wielki ukłon w Twoją stronę, otworzyłeś mi oczy na niektóre rzeczy jeśli idzie o liczby zespolone. Wielkie dzięki raz jeszcze. Pozdrawiam!