liczby zespolone - szukanie pierwiastków + zadanie

[Paulinka_xD]

Witam mam problem z tymi 3 zadaniami:
1. Znaleźć wszystkie pierwiastki 6-go stopnia z liczby 1.
2. Znaleźć wszystkie pierwiastki 3-go stopnia z liczby -8i.
3. \(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}})^{8}}\)

[Vigl]

ad 1). \(\displaystyle{ 1=(cos(2k\pi)+isin(2k\pi))=e^{i2k\pi}}\)
\(\displaystyle{ 1^{\frac{1}{6}}=e^{\frac{i2k\pi}{6}}=e^{\frac{ik\pi}{3}}}\) ==> dostajesz 6 pierwiastków (k=0,1,2,3,4,5)

ad 2). \(\displaystyle{ -8i=8(cos(\frac{3}{2}\pi+2k\pi)+isin(\frac{3}{2}\pi+2k\pi))=8e^{i\frac{3}{2}\pi+i2k\pi}}\)
\(\displaystyle{ (-8i)^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{3}{6}\pi+i\frac{2}{3}k\pi}=2e^{\frac{i\pi}{2}+i\frac{2}{3}k\pi}}\) ==> 3 pierwiastki (k=0,1,2)

ad 3). W liczniku jest na pewno pierwiastek ósmego stopnia z 3?

[ Dodano: 6 Października 2008, 20:47 ]
Widzę, że poprawiłaś.
Pomnóżmy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\):
\(\displaystyle{ \frac{(1+\sqrt{3})^{16}}{(1-3)^8}=\frac{(1+\sqrt{3})^{16}}{(-2)^8}=\frac{(1+\sqrt{3})^{16}}{256}}\)
Zaś licznik polecam policzyć z dwumianu Newtona.

Chyba, że tam ma być \(\displaystyle{ \sqrt{-3}}\), a nie \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) (szczerze mówiąc, bym tak obstawiał), bo wtedy zadanko się elegancko robi starym sprawdzonym sposobem przemnożenia mianownika i licznika liczbą sprzężoną do liczby w mianowniku, a następnie ze wzoru Eulera oblicza licznik (mianownik jest trywialny).

[Paulinka_xD]

zadanie przepisałam tak jak mi podał wykładowca...
a z tych zadań nie rozumiem nic dlatego prosiłam tu o pomoc, gdyż nasz wykładowca nie umie tłumaczyć ;/
a czy mogę spytać z jakiego wzoru robiłeś te pierwsze dwa zadania i jak się wylicza te miary kątów przy funkcjach trygonometrycznych?

[Vigl]

Korzystałem ze .
A miary kątów dobierałem w sposób jak najbardziej naturalny; wystarczy spojrzeć, że np dla \(\displaystyle{ sin(2k\pi)}\), część urojona liczby jest równa \(\displaystyle{ 0}\), etc. Doczytaj coś o interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.

[Paulinka_xD]

dziekuje za pomoc