Witam , mam taki problem z równaniem 1) \(\displaystyle{ y=e^{(a+ib)x}}\)
2) dalej mamy \(\displaystyle{ y=e^{ax}e^{ibx}}\)
3)i koncowa postać ma być \(\displaystyle{ y=e^{ax} \cos bx}\)
w jaki sposob doszlismy z (2) do (3) , chodzi mi o przeksztalcenia ( pewnie to jest zwiazane z operacjami na liczbach zespolonych ,ale nie potrafie tego rozgryzc )
Z góry dziekuje
Zamiana postaci wykładniczej na trygonometryczną
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Zamiana postaci wykładniczej na trygonometryczną
W nijaki, bo to nie jest poprawne przejście.Powinno byćw jaki sposob doszlismy z (2) do (3)
\(\displaystyle{ e^{ibx}=\cos (bx)+i\sin(bx)}\)
-
Ewcia
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 15 wrz 2004, o 20:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 10 razy
Zamiana postaci wykładniczej na trygonometryczną
jak w nijaki jak to jest jedna ze skladowych rozwiazania rownania rozniczkowego rzedu drugiego ( o stalych wspolczynnikach... w przypadku wartosci wlasnych zespolonych )
tj. \(\displaystyle{ y= e^{ax}(C1 \cos bx + C2 \sin bx)}\) gdzie \(\displaystyle{ y1=e^{ax}\cos bx}\) , a \(\displaystyle{ y2=e^{ax}\sin bx}\) przy czym \(\displaystyle{ s1= a+ib}\) a \(\displaystyle{ s2=a-bi}\)
(s1, s2 - wartosci wlasne rownania charakterystycznego )
Rownanie rozniczkowe liniowe rzedu drugiego ma postac ay'' + by' + cy=0 przewiduje sie rozwiazanie w postaci wykladniczej \(\displaystyle{ y=e^{sx}}\) gdzie s- wartosc wlasna rownania charakterystycznego...
wiec ogolnie rozw ma postac y= C1y1 + C2y2 ( kombinacja liniowa tych dwoch )
\(\displaystyle{ s1= a+ib}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y1=e^{ax}\cos bx}\) \(\displaystyle{ y1=e^{s1x}}\)
\(\displaystyle{ s2= a-ib}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y2=e^{ax}\sin bx}\) \(\displaystyle{ y1=e^{s2x}}\)
I rozwiazanie takiego rownania rozniczkowego musi miec taka postac \(\displaystyle{ y= e^{ax}(C1 \cos bx + C2 \sin bx)}\) ( w przypadku wartosci wlasnych zespolonych sprzezonych) poniewaz tak podaje literatura .
Stąd wnioskuje ze musi tu istniec jakis knif ... zeby dojsc do takiego rozwiazania \(\displaystyle{ s1= a+ib}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y1=e^{s1x}}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y1=e^{ax}\cos bx}\) , a nalogicznie dla s2
tj. \(\displaystyle{ y= e^{ax}(C1 \cos bx + C2 \sin bx)}\) gdzie \(\displaystyle{ y1=e^{ax}\cos bx}\) , a \(\displaystyle{ y2=e^{ax}\sin bx}\) przy czym \(\displaystyle{ s1= a+ib}\) a \(\displaystyle{ s2=a-bi}\)
(s1, s2 - wartosci wlasne rownania charakterystycznego )
Rownanie rozniczkowe liniowe rzedu drugiego ma postac ay'' + by' + cy=0 przewiduje sie rozwiazanie w postaci wykladniczej \(\displaystyle{ y=e^{sx}}\) gdzie s- wartosc wlasna rownania charakterystycznego...
wiec ogolnie rozw ma postac y= C1y1 + C2y2 ( kombinacja liniowa tych dwoch )
\(\displaystyle{ s1= a+ib}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y1=e^{ax}\cos bx}\) \(\displaystyle{ y1=e^{s1x}}\)
\(\displaystyle{ s2= a-ib}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y2=e^{ax}\sin bx}\) \(\displaystyle{ y1=e^{s2x}}\)
I rozwiazanie takiego rownania rozniczkowego musi miec taka postac \(\displaystyle{ y= e^{ax}(C1 \cos bx + C2 \sin bx)}\) ( w przypadku wartosci wlasnych zespolonych sprzezonych) poniewaz tak podaje literatura .
Stąd wnioskuje ze musi tu istniec jakis knif ... zeby dojsc do takiego rozwiazania \(\displaystyle{ s1= a+ib}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y1=e^{s1x}}\) \Rightarrow \(\displaystyle{ y1=e^{ax}\cos bx}\) , a nalogicznie dla s2