Pierwiastek trzeciego stopnia z i

[sebastiankul4]

Witam
Mam prośbe jak obliczyć pierwiastek trzeciego stopni z za pomoca wyrazien tak zwany z0,z2,z3...

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)

wzór znam ale jak dojsc do tego..?

Prosze o pomoc jak to mozliwe dzis.. Bardzo mi na tym zależy...

Bardzo was prosze

dokładnie mi chodzi o kad phi jak go poprawnie odczytac.

A najlepiej jak to zrobic od poczatku bo mi cos dzwoni ale nie wiem czy dobrze.

[soku11]

Mamy znalezc wiec cos takiego:
\(\displaystyle{ z^3=i\\}\)

Teraz prawa strone zamieniamy na postac trygonometryczna, tj:
\(\displaystyle{ z^3=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\\}\)

I korzystamy ze wzoru Demoivra:
\(\displaystyle{ z_k=\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\ \ \ k\in\{0,1,2\}}\)

Podstawiamy i mamy trzy pierwiastki Pozdrawiam.

[sebastiankul4]

a mozna prosić o przykład obliczonego z1 ?? bardzo bym prosił .. z ewentualnym wytlumaczeniem dla jelenia takiego jak ja ...

Bo w nastepnych zmienia sie liczbe k i dalej odczytuje wartosci z pewnego kola.. a jak sie ono nazywa to nie wiem.

nie wiem czy to dobrze robie ale w zo ma wyjsc 2/3

Albo prosze o same odp ..moze dojde

[soku11]

No ok:
\(\displaystyle{ z_1=\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}=
\cos \frac{\frac{5\pi}{2}}{3}+i\sin \frac{\frac{5\pi}{2}}{3}=
\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=
\cos ft(\pi-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin ft(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=
-\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=
-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}}\)

Pozostale dwa pierwiastki (\(\displaystyle{ z_0,\; z_1}\)) analogicznie ;] Pozdrawiam.

[d_adam]

Mamy znalezc wiec cos takiego:
\(\displaystyle{ z^3=i\\}\)

Teraz prawa strone zamieniamy na postac trygonometryczna, tj:
\(\displaystyle{ z^3=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\\}\)

Czy mógłby ktoś napisać w jaki sposób zamienić to na postać trygonometryczną?
Dzięki

[Forte]

liczbę \(\displaystyle{ a+bi}\) zmieniasz tak
\(\displaystyle{ a+bi=(a^2+b^2)\left(\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{a^2+b^2} i\right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{a}{a^2+b^2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{b}{a^2+b^2}}\)

gdy \(\displaystyle{ z=i}\), to \(\displaystyle{ a=0}\) \(\displaystyle{ b=1}\) i masz


\(\displaystyle{ \cos \alpha= 0}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha =1}\)

stąd wniosek, że \(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{2}}\)

chociaż tutaj szybciej widać z położenia \(\displaystyle{ i}\) na płaszczyźniej Gausa

[Majeskas]

\(\displaystyle{ z^3=0+i=\sqrt{0^2+1^2}(0+i)=\cos\theta+i\sin\theta}\)

W takim razie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos\theta=1\\
\sin\theta=0 \\ \end{cases}}\)

czyli \(\displaystyle{ \textup{Arg}(i)=\frac\pi2}\).

[d_adam]

\(\displaystyle{ \cos \alpha= 0}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha =1}\)

stąd wniosek, że \(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{2}}\)

Pewnie głupie pytanko, ale skąd taki wniosek ?

[Majeskas]

Ogólny wniosek (ze szkolnej trygonometrii) jest taki, że \(\displaystyle{ \ctg\alpha=0}\), a więc \(\displaystyle{ \alpha=\frac\pi2+k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\), ale najprościej jest w kontekście wziąć "najprostsze" \(\displaystyle{ \alpha}\) (tzw. argument główny) i stąd \(\displaystyle{ \frac\pi2}\).

[d_adam]

Dalej nie ogarniam Kolejny przykład

\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

stąd wniosek, że \(\displaystyle{ \alpha =\frac{3}{2} \pi + \frac{\pi}{4}}\)

[Majeskas]

Zgadza się, można też przyjąć \(\displaystyle{ \alpha=-\frac\pi4}\). Co do nierozumienia, to nie wiem, co można by jeszcze powiedzieć. To jest dość elementarna szkolna trygonometria, nic więcej.

[d_adam]

Zgadza się, można też przyjąć \(\displaystyle{ \alpha=-\frac\pi4}\). Co do nierozumienia, to nie wiem, co można by jeszcze powiedzieć. To jest dość elementarna szkolna trygonometria, nic więcej.

Dzięki wielkie Tym \(\displaystyle{ \alpha=-\frac\pi4}\) troche mi się rozjaśniło. 4-ćwiartka 45 stopni.
Chyba już wiadomo o co chodzi, po prostu nie skojarzyłem

Pozdrawiam!

[Forte]

w takim razie pomocne tobie będą wykresy \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\) poszukaj w google