Oblicz
\(\displaystyle{ (\frac{1-i}{ \sqrt{3} +i})^{12}}\)
Można najpierw obliczyć moduł licznika, potem mianownika i dopiero potem podnosić caly iloraz do potęgi wg wzoru Moivre'a? Czy najpierw musze skorzystac ze wzoru Moivre'a na dzielenie a potem wynik potęgować ze wzoru na potęgowanie? Moglby ktos pokazac pierwsze kroki lub calosc, bo mi taki bajzel wychodzi ze juz nic nie wiem :-/
Obliczanie potęgi z ilorazu
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Obliczanie potęgi z ilorazu
Trzeba wyrażenie w nawiasie przedstawić w postaci trygonometrycznej, bo takie wyrażenie wygonie się potęguje:
\(\displaystyle{ z^n=|z|^n [ \cos (n \phi)+i \sin (n \phi)]}\)
A więc:
\(\displaystyle{ \frac{1-i}{\sqrt{3}+i}=\frac{\sqrt{2} ft( \frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) }{2 ft( \frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right) } = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\cos \frac{7\pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ft( \cos \frac{19\pi}{12} +i \frac{19\pi}{12} \right)}\)
I podnosimy do potęgi:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} ft( \cos \frac{19\pi}{12} +i \frac{19\pi}{12} \right) \right] ^{12}=\frac{1}{64} ft( \cos 19\pi+i \sin 19\pi \right)=\frac{1}{64} (-1)=-\frac{1}{64}}\)
[ Dodano: 14 Września 2008, 23:07 ]
@frej twoją metodą się do niczego nie dojdzie, bo wtedy nie policzysz argumentu tej liczby
\(\displaystyle{ z^n=|z|^n [ \cos (n \phi)+i \sin (n \phi)]}\)
A więc:
\(\displaystyle{ \frac{1-i}{\sqrt{3}+i}=\frac{\sqrt{2} ft( \frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) }{2 ft( \frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right) } = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\cos \frac{7\pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ft( \cos \frac{19\pi}{12} +i \frac{19\pi}{12} \right)}\)
I podnosimy do potęgi:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} ft( \cos \frac{19\pi}{12} +i \frac{19\pi}{12} \right) \right] ^{12}=\frac{1}{64} ft( \cos 19\pi+i \sin 19\pi \right)=\frac{1}{64} (-1)=-\frac{1}{64}}\)
[ Dodano: 14 Września 2008, 23:07 ]
@frej twoją metodą się do niczego nie dojdzie, bo wtedy nie policzysz argumentu tej liczby