\(\displaystyle{ f(z) = \frac{z - i}{z + i}}\)
\(\displaystyle{ oblicz f(A) gdzie
A=\{ z\in C:\quad |z|=1\}}\)
oblicz f(A)
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
oblicz f(A)
Wpadlem na cos takiego.
Nasz zbior A, to poprostu kolo o srodku w (0,0) i promieniu 1. Tak wiec mozna go zapisac tak:
\(\displaystyle{ A:\ \{(x,y):\ x=\cos\varphi\ \ y=\sin\varphi\ \ \varphi\in[0;2\pi]\ \}\\}\)
Teraz przeksztalcamy nasza funkcje f(z):
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{z-i}{z+i}\\
f(x,y)=\frac{x+iy-i}{x+iy+i}=\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}=
\frac{[x+i(y-1)][x-i(y+1)]}{[x+i(y+1)][x-i(y+1)]}=
\frac{x^2-ix(y+1)+ix(y-1)+(y-1)(y+1)}{x^2+(y+1)^2}=
\frac{x^2-2ix+y^2-1}{x^2+(y+1)^2}\\
f\left(x(\varphi),y(\varphi)\right)=\frac{\cos^2\varphi-2i\cos \varphi+\sin ^2\varphi-1}{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi+2\sin\varphi+1}=
\frac{-2i\cos \varphi}{2\sin\varphi+2}=
\frac{-i\cos \varphi}{\sin\varphi+1}=\frac{-ix}{y+1}\\}\)
Dalej wypadaloby podstawic ta funkcje jako f(z) i chyba nic wiecej sie z tym nie zrobi... Pozdrawiam.
Nasz zbior A, to poprostu kolo o srodku w (0,0) i promieniu 1. Tak wiec mozna go zapisac tak:
\(\displaystyle{ A:\ \{(x,y):\ x=\cos\varphi\ \ y=\sin\varphi\ \ \varphi\in[0;2\pi]\ \}\\}\)
Teraz przeksztalcamy nasza funkcje f(z):
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{z-i}{z+i}\\
f(x,y)=\frac{x+iy-i}{x+iy+i}=\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}=
\frac{[x+i(y-1)][x-i(y+1)]}{[x+i(y+1)][x-i(y+1)]}=
\frac{x^2-ix(y+1)+ix(y-1)+(y-1)(y+1)}{x^2+(y+1)^2}=
\frac{x^2-2ix+y^2-1}{x^2+(y+1)^2}\\
f\left(x(\varphi),y(\varphi)\right)=\frac{\cos^2\varphi-2i\cos \varphi+\sin ^2\varphi-1}{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi+2\sin\varphi+1}=
\frac{-2i\cos \varphi}{2\sin\varphi+2}=
\frac{-i\cos \varphi}{\sin\varphi+1}=\frac{-ix}{y+1}\\}\)
Dalej wypadaloby podstawic ta funkcje jako f(z) i chyba nic wiecej sie z tym nie zrobi... Pozdrawiam.
oblicz f(A)
Mam taki pomysł:
Najpierw liczbe z w funkcji f(z) zapisujemy jako z=a+bi, robimy obliczenia i mamy:
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{a^{2}+b^{2}-1}{a^{2}+b^{2}+2b+1}+\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}+2b+1}i}\)
Jeśli |z|=1 to \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}+b^{2} }=1}\) czyli tez \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=1}\). Podstawiamy to do pierwszego zapisu i mamy ostatecznie:
\(\displaystyle{ f(z)=0 +\frac{2ab}{2b+2}i}\)
I to by było na tyle
Najpierw liczbe z w funkcji f(z) zapisujemy jako z=a+bi, robimy obliczenia i mamy:
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{a^{2}+b^{2}-1}{a^{2}+b^{2}+2b+1}+\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}+2b+1}i}\)
Jeśli |z|=1 to \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}+b^{2} }=1}\) czyli tez \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=1}\). Podstawiamy to do pierwszego zapisu i mamy ostatecznie:
\(\displaystyle{ f(z)=0 +\frac{2ab}{2b+2}i}\)
I to by było na tyle