wartość wyrażenia, kąty

[qba]

witam,

obliczam sobie wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ ( \frac{1+i}{1-i})^{1410}}\)
najpierw sprowadzam licznik do postaci trygonometrycznej,
później mianownik i wzorem Moivre'a podnoszę całość do potęgi
jednak mam pewne wątpliwości \(\displaystyle{ \sin\varphi}\) mianownika:
\(\displaystyle{ \sin\varphi = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
wydaje mi się że należy tu użyć wzorów redukcyjny,
jednak nie jestem pewien JAK ich użyć,
czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć?
prosiłbym także o podanie (samego) wyniku

[Wasilewski]

A po co do postaci trygonometrycznej sprowadzasz? Przecież:
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{1-i} \frac{1+i}{1+i} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = i}\)

[qba]

faktycznie! nie zauważyłem tego
(czyli odpowiedzią jest 1?)
prosiłbym jednak także o wytłumaczenie co robić w takich przypadkach:
\(\displaystyle{ \sin\varphi = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

[Wasilewski]

No to na przykład korzystasz z nieparzystości funkcji sinus. Czyli masz:
\(\displaystyle{ -sin\varphi = sin (-\varphi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
sin \varphi = sin (\pi - \varphi) \\
\varphi = - \frac{ \pi}{4} + 2\pi \varphi = \frac{ 5\pi}{4}}\)
Do pierwszej możliwości dodałem \(\displaystyle{ 2\pi}\), żeby kąt był z przedziału \(\displaystyle{ }\)