Pierwiastek z 1

[cesarks]

Witam,
W jaki sposób obliczyć:

1. \(\displaystyle{ \epsilon_0+ \epsilon_1+... \epsilon_{n-1}=?}\)

2. \(\displaystyle{ \epsilon_{0}\epsilon_{1}+\epsilon_{2}\epsilon_{3}+...=?}\)

p.s.
Podobna należy w rozwiązaniu wykorzystać właściwości ciągów arytmetyczny i geometryczny...

[Tomasz Rużycki]

1) Załóż sobie, że \(\displaystyle{ \varepsilon_0}\) jest pierwiastkiem pierwotnym z jedności (dodawanie jest przemienne), po czym skorzystaj z faktu, że kolejne potęgi (od 0 do n-1) pierwiastka pierwotnego dają wszystkie pierwiastki stopnia n-tego z jedności.

2) Możesz napisać jeszcze kawałek tego wyrażenia?


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[cesarks]

Witam ponownie, poprawiłem drugie równanie,
w pierwszym podobno wynikiem jest 1, ale nadal nie rozumiem jak to wychodzi, będę wdzięczny za "łopatologiczne wyjaśnienie".
pozdrawiam.

[Rogal]

Cóż, tak jak pisze Tomek, jeżeli \(\displaystyle{ \epsilon _{0}}\) będzie pierwiastkiem pierwotnym z jedynki, to każdy następny pierwiastek będzie równy \(\displaystyle{ \epsilon _{0} ^{k}}\), gdzie k = 1, 2, ..., n-1, bo dla k = n otrzymujemy 1, co już jest w sumie zbyt trywialne .
Korzystając więc z tego, możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \epsilon _{0} + \epsilon _{0} ^{2} + ... + \epsilon _{0} ^{n-1}}\)
A to po prostu jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie równym \(\displaystyle{ \epsilon _{0}}\), więc sumując ten ciąg geometryczny uzyskasz rozwiązanie. W drugim podobnież popodstawiaj i też powinno wyjść.

[cesarks]

Witam, znalazłem taki wzór Viete'a :

\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2}\cdot...x_{n}=\frac{(-1)^{n}\cdot a_{0}}{a_{n}}}\)

czy można podstawić tak:

\(\displaystyle{ \epsilon_{0}\cdot\epsilon_{1}\cdot...\epsilon_{n-1}=\frac{(-1)^{n-1}\cdot\epsilon_{0}}{\epsilon_{n-1}}}\)

\(\displaystyle{ =1 dla (n-1)parzyste}\)
\(\displaystyle{ =-1 dla (n-1)nieparzyste}\)

czy tak będzie ok?
pozdrawiam.

[Tomasz Rużycki]

Rozważ sobie wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^n-1}\).

\(\displaystyle{ a_{n-1}=\ldots a_1=0}\), \(\displaystyle{ a_0 = -1}\), więc:

\(\displaystyle{ x_1+\ldots +x_n = 0}\),
\(\displaystyle{ x_1x_2+\ldots = 0}\),
\(\displaystyle{ x_1\cdot\ldots x_n = (-1)^n}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1,\ldots ,x_n}\) to oczywiście pierwiastki n-tego stopnia z jedności.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki