liczba podniesiona do potęgi i

[fuku]

jak policzyc cos takiego:

\(\displaystyle{ a) 2^i}\)
\(\displaystyle{ b) (1-i)^i}\)

jako wskazówkę dostałem: \(\displaystyle{ A = e^{lnA}}\)

[bedbet]

Skąd masz te zadanie? Wskazówka \(\displaystyle{ A=e^{\ln A}}\) jest mało pomocna, gdyż w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) logarym jak i pierwiastki to skomplikowana sprawa.

[fuku]

praca domowa na politechnice warszawskiej.

wynikiem do a) jest \(\displaystyle{ e^{-2\pi k}(cosln2 + isinln2)}\)
a do b)
\(\displaystyle{ e^{-\frac{\pi}{4} +2\pi k}(cosln\sqrt{2} + isinln\sqrt{2})}\)


tyle ze fajnie by bylo wiedziec jak rozwiazac cos takiego

[luka52]

Wskazówka \(\displaystyle{ A=e^{\ln A}}\) jest mało pomocna

Dlaczego?

, gdyż w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) logarym jak i pierwiastki to skomplikowana sprawa.

Mógłbyś rozwinąć?

ad a)
\(\displaystyle{ 2^i = e^{i \ln 2} = e^{i ft( \text{Ln} \, 2 +2 k \pi i \right)} = e^{i \, \text{Ln} \, 2} \; \; e^{-2k \pi} = ft( \cos ft( \text{Ln} \, 2 \right) + i \sin ft( \text{Ln} \, 2 \right) \right) \; e^{-2k\pi}}\)
gdzie Ln to logarytm (naturalny) główny.

ad b)
\(\displaystyle{ (1-i)^i = e^{i \ln (1 - i)} = e^{i ft( \text{Ln} \, (1-i) +2 k \pi i \right)}}\)
dalej
\(\displaystyle{ \text{Ln} \, (1-i) = \text{Ln} \, |1-i| + i \text{Arg} \, (1-i) = \text{Ln} \, \sqrt{2} - i \frac{\pi}{4}}\)
podstawiając i upraszczając dostaniemy to co w odp.