pierwiaski oraz rownanie

[neo0307]

oblicz

\(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3+(1+i)^{4}}}\)

rozwiaz rownanie

8+z^{2}=8

korzystajac z wzorow moivre'a wyraz za pomaca sin a oraz cos a

cos 4a
ctg 3a

[robertm19]

Pierwiastek pierwszy:
Niech z=x+iy będzie wynikiem tego pierwiastka stąd x+iy=\(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\).
Dalej podnosimy do kwadratu obie strony:
\(\displaystyle{ x^2-y^2+2ixy=3+4i}\) dalej porównujemy te liczby i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=3\\2xy=4\end{cases}}\)
Dalej rozwiązujesz układ równań .
Co do dugiego pierwiastka to sprowadź liczbę pod pierwiaskiem go do postaci
trygonometrycznej i skorzystaj ze wzoru : \(\displaystyle{ \sqrt{z}=\sqrt{|x|}[cos(( x+2k\pi)/2)+isin((x+2k\pi)/2)]}\).

[neo0307]

a wiesz jak zrobic pozostale zadania ?

[robertm19]

cos 4a
Niech z=cosx + isinx
\(\displaystyle{ (z^4=\cos4x +i\sin 4x=\cos^4(x)+4\cos^3(x)i\sin(x)-6\cos^2(x)\sin^2(x)-4\cos(x)i\sin^3(x)+\sin^4(x)}\)
Z porównania części rzeczywistych :
\(\displaystyle{ \cos4x=\cos^4(x)+\sin^4(x)-6\cos^2(x)\sin^2(x)}\)

[ Dodano: 27 Sierpnia 2008, 16:54 ]
ctg 3a zrobisz analogicznie tylko sin 3a otrzymasz z porównania części urojonych potem tylko \(\displaystyle{ \\ctg3a=\frac{\cos3a}{\sin3a}}\)

[neo0307]

i jeszcze jedno pytanko jak otrzymales te rownosci rozwiazujac ten pierwszy pierwiastek i co rozumiesz przez porownanie czesci rzeczywistych ?

[robertm19]

Sorki w pierwszym byl błąd . Dwie liczby zespolone z=x1+iy1 i w=x2+iy2 są równe gdy x1=x2 czyli części rzeczywiste i y1=y2 części urojone:)

[neo0307]

czyli jak powien wygladac uklad rownan

[robertm19]

juz wszystko jest w porządku