Cześć, po pierwsze chciałbym się przywitać bo to mój pierwszy post.
Mam problem z rozwiązaniem takiego zadania.
polecenie: Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory spełniające warunki:
\(\displaystyle{ arg (\frac{z-1}{z+1})}\) = \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)
odpowiedzią do tego jest:
\(\displaystyle{ x^2 + (y - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}}\)
tylko fajnie by było wiedzieć jak dojśc do takiego rozwiązania
Pozdrawiam, i z góry dziękuj jak ktoś poświęci swój czas.
argument ilorazu
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
argument ilorazu
Hmpf... Nie wiem czy da to poprawny wynik, ale spojrzmy na prawa strone. Mamy tam pewien kat. Teraz wypadaloby go wyrazic za pomoca 'funkcji' arg. Dlatego warto zauwazyc, ze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) jest argumentem wszystkich liczb zespolonych polozonych pod takim katem, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=\mbox{arg}\left[ |z|\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)\right]}\)
Teraz podstawiajac do rownania:
\(\displaystyle{ \mbox{arg} (\frac{z-1}{z+1}) = \mbox{arg}\left[ |z|\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)\right]\\
\frac{z-1}{z+1}=|z|\left( \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
z=x+iy\\
\frac{x+iy-1}{x+iy+1}=(x^2+y^2)\left( \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\)
Dalej trzeba by cos pokombinowac by dojsc do rozwiazania Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=\mbox{arg}\left[ |z|\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)\right]}\)
Teraz podstawiajac do rownania:
\(\displaystyle{ \mbox{arg} (\frac{z-1}{z+1}) = \mbox{arg}\left[ |z|\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)\right]\\
\frac{z-1}{z+1}=|z|\left( \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
z=x+iy\\
\frac{x+iy-1}{x+iy+1}=(x^2+y^2)\left( \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\)
Dalej trzeba by cos pokombinowac by dojsc do rozwiazania Pozdrawiam.
- meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
argument ilorazu
Załóżmy, że: \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ x,y R}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ z_1=frac{z-1}{z+1}=frac{x-1+iy}{x+1+iy}=frac{[(x-1)+iy)][(x+1)-iy]}{[(x+1)+iy][(x+1)-iy)}=frac{x^2-1-iy(x-1)+iy(x+1)+y^2}{(x+1)^2+y^2} = \ \ = frac{x^2+y^2-1+i2y}{(x+1)^2+y^2}=frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}+ifrac{2y}{(x+1)^2+y^2}}\)
Obliczmy moduł tej liczby bo będzie nam on potrzebny do wyznaczenia jej argumentu:
\(\displaystyle{ |z_1|=\sqrt{ ft( \frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2} \right)^2+ ft( \frac{2y}{(x+1)^2+y^2} \right)^2 }=\frac{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}{(x+1)^2+y^2}}\)
Policzmy argument tej liczby, ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos \phi=\frac{Re \lbrace z_1 \rbrace}{|z_1|}=\frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}}\)
Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}\)
Więc dostajemy następująca równość:
\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}=\frac{1}{2} \\ \\
4x^4+4y^4+4+8x^2y^2-8x^2-8y^2=x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2 \\ \\
3x^4+3y^4+3+6x^2y^2-6x^2-10y^2=0 \\ \\
(\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}y^2-\sqrt{3})^2-4y^2=0 \\ \\
(x^2+y^2-1)^2-\frac{4}{3}y^2=0 \\ \\
ft( x^2+y^2-1-\frac{2}{\sqrt{3}}y \right) ft( x^2+y^2-1+\frac{2}{\sqrt{3}}y \right)=0 \ \\
x^2+y^2-1-\frac{2}{\sqrt{3}}y=0 x^2+y^2-1+\frac{2}{\sqrt{3}}y=0 \\ \\
x^2+ ft(y-\frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^2=\frac{4}{3} x^2+ ft(y+\frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^2=\frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ z_1=frac{z-1}{z+1}=frac{x-1+iy}{x+1+iy}=frac{[(x-1)+iy)][(x+1)-iy]}{[(x+1)+iy][(x+1)-iy)}=frac{x^2-1-iy(x-1)+iy(x+1)+y^2}{(x+1)^2+y^2} = \ \ = frac{x^2+y^2-1+i2y}{(x+1)^2+y^2}=frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}+ifrac{2y}{(x+1)^2+y^2}}\)
Obliczmy moduł tej liczby bo będzie nam on potrzebny do wyznaczenia jej argumentu:
\(\displaystyle{ |z_1|=\sqrt{ ft( \frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2} \right)^2+ ft( \frac{2y}{(x+1)^2+y^2} \right)^2 }=\frac{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}{(x+1)^2+y^2}}\)
Policzmy argument tej liczby, ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos \phi=\frac{Re \lbrace z_1 \rbrace}{|z_1|}=\frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}}\)
Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}\)
Więc dostajemy następująca równość:
\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}=\frac{1}{2} \\ \\
4x^4+4y^4+4+8x^2y^2-8x^2-8y^2=x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2 \\ \\
3x^4+3y^4+3+6x^2y^2-6x^2-10y^2=0 \\ \\
(\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}y^2-\sqrt{3})^2-4y^2=0 \\ \\
(x^2+y^2-1)^2-\frac{4}{3}y^2=0 \\ \\
ft( x^2+y^2-1-\frac{2}{\sqrt{3}}y \right) ft( x^2+y^2-1+\frac{2}{\sqrt{3}}y \right)=0 \ \\
x^2+y^2-1-\frac{2}{\sqrt{3}}y=0 x^2+y^2-1+\frac{2}{\sqrt{3}}y=0 \\ \\
x^2+ ft(y-\frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^2=\frac{4}{3} x^2+ ft(y+\frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^2=\frac{4}{3}}\)