argument ilorazu

[fuku]

Cześć, po pierwsze chciałbym się przywitać bo to mój pierwszy post.

Mam problem z rozwiązaniem takiego zadania.

polecenie: Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory spełniające warunki:

\(\displaystyle{ arg (\frac{z-1}{z+1})}\) = \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)

odpowiedzią do tego jest:
\(\displaystyle{ x^2 + (y - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}}\)

tylko fajnie by było wiedzieć jak dojśc do takiego rozwiązania

Pozdrawiam, i z góry dziękuj jak ktoś poświęci swój czas.

[soku11]

Hmpf... Nie wiem czy da to poprawny wynik, ale spojrzmy na prawa strone. Mamy tam pewien kat. Teraz wypadaloby go wyrazic za pomoca 'funkcji' arg. Dlatego warto zauwazyc, ze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) jest argumentem wszystkich liczb zespolonych polozonych pod takim katem, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=\mbox{arg}\left[ |z|\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)\right]}\)

Teraz podstawiajac do rownania:
\(\displaystyle{ \mbox{arg} (\frac{z-1}{z+1}) = \mbox{arg}\left[ |z|\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)\right]\\
\frac{z-1}{z+1}=|z|\left( \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
z=x+iy\\
\frac{x+iy-1}{x+iy+1}=(x^2+y^2)\left( \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\)

Dalej trzeba by cos pokombinowac by dojsc do rozwiazania Pozdrawiam.

[meninio]

Załóżmy, że: \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ x,y R}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ z_1=frac{z-1}{z+1}=frac{x-1+iy}{x+1+iy}=frac{[(x-1)+iy)][(x+1)-iy]}{[(x+1)+iy][(x+1)-iy)}=frac{x^2-1-iy(x-1)+iy(x+1)+y^2}{(x+1)^2+y^2} = \ \ = frac{x^2+y^2-1+i2y}{(x+1)^2+y^2}=frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}+ifrac{2y}{(x+1)^2+y^2}}\)

Obliczmy moduł tej liczby bo będzie nam on potrzebny do wyznaczenia jej argumentu:
\(\displaystyle{ |z_1|=\sqrt{ ft( \frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2} \right)^2+ ft( \frac{2y}{(x+1)^2+y^2} \right)^2 }=\frac{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}{(x+1)^2+y^2}}\)

Policzmy argument tej liczby, ze wzoru:

\(\displaystyle{ \cos \phi=\frac{Re \lbrace z_1 \rbrace}{|z_1|}=\frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}}\)

Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}\)

Więc dostajemy następująca równość:

\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2}}=\frac{1}{2} \\ \\
4x^4+4y^4+4+8x^2y^2-8x^2-8y^2=x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2 \\ \\
3x^4+3y^4+3+6x^2y^2-6x^2-10y^2=0 \\ \\
(\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}y^2-\sqrt{3})^2-4y^2=0 \\ \\
(x^2+y^2-1)^2-\frac{4}{3}y^2=0 \\ \\
ft( x^2+y^2-1-\frac{2}{\sqrt{3}}y \right) ft( x^2+y^2-1+\frac{2}{\sqrt{3}}y \right)=0 \ \\
x^2+y^2-1-\frac{2}{\sqrt{3}}y=0 x^2+y^2-1+\frac{2}{\sqrt{3}}y=0 \\ \\
x^2+ ft(y-\frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^2=\frac{4}{3} x^2+ ft(y+\frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^2=\frac{4}{3}}\)