zadanie liczby zespolone

[mexyk]

Witam pomóżcie mi z rozwiązaniem jednego małego problemu. mam przykład \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ ft(1+i \right) ^{4} }}\) i tak z tego co wiem dla \(\displaystyle{ \left(z \right) ^{n}}\) z- jakas liczba zespolona liczy się to wzorem \(\displaystyle{ z= ft|z \right| ^{n} ft(cosn\alpha + isinn\alpha \right)}\) a dla \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\) \(\displaystyle{ k= \sqrt[n]{ ft|z \right| } ft(cos \frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin \frac{\alpha+2k\pi}{n} \right)}\) Teraz nie wiem jak to policzyć, trzeba coś skrócić czy sprowadzić do jakiejś prostszej postaci tak żeby wykorzystać jeden wzór?? czy całkiem jakoś inaczej. Mógłby mnie ktoś naprowadzić jak się za to zabrać ?? A i pytanko spoza tematu jak dodać w tym tekście z użyciem tego TEXA PI albo oznaczenia kątów alfa itd itp ?? Ps. to L to alfa miało byc Pozdrawiam

W instrukcji LaTeX-a
2.10 Małe litery alfabetu greckiego
\(\displaystyle{ \alpha}\)
pi \(\displaystyle{ \pi}\)
Szemek

[frej]

Najpierw postać trygonometryczna:
\(\displaystyle{ 1+i=\sqrt{2}(cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})}\),
a teraz wzory de Moivre'a
\(\displaystyle{ (1+i)^4=4(cos{\pi}+i\sin{\pi})}\)

Pierwiastki zostawiam dla Ciebie

[mexyk]

aha Czyli jeśli dobrze rozumiem nie traktuje tego jak jedno działanie tylko 3 odrębne czyli będę miał 3 wyniki tak??

Szemek dzieki za odpowiedz he zapomniałem o tym ze istnieje Instrukcja do latexa

[frej]

Tak, bo każda liczba zespolona \(\displaystyle{ x 0}\) posiada \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia.

[mexyk]

Czyli to co wyzej obliczyłeś plus to \(\displaystyle{ k= \sqrt[6]{2} ft( cos \frac{ \frac{\pi}{4}+2k\pi }{3} + isin \frac{ \frac{\pi}{4}+2k\pi }{3} \right)}\) dla k=0,1,2 i dalej mogę policzyć to dla kazdego pierwiastka \(\displaystyle{ \xi _{0} = \sqrt[6]{2} ft( cos \frac{ \frac{\pi}{4}+2*0*\pi }{3} + isin \frac{ \frac{\pi}{4}+2*0*\pi }{3} \right) = ft(cos \frac{\pi}{12}+isin \frac{\pi}{12} \right)}\) chyba dobrze policzyłem i tak do wszystkich i to by był koniec zadania nic wiecej z tym mam nie robic ??

[frej]

Jak obliczysz te trzy pierwiastki to będzie koniec. Proste, prawda?

[mexyk]

no teraz tak, tak trochę mi się namieszało bo wszystko naraz było, a nie wiedziałem ze tak to się liczy. Dzięki za pomoc. Pozdrawiam

[soku11]

Jesli dobrze mi sie zdaje, to zle liczysz te pierwiastki. Zle, bo nie z tej liczby co trzeba. Najpierw podnosisz ja do potegi 4, a nastepnie dopiero obliczasz 3 pierwiastki, tj:
\(\displaystyle{ (1+i)^4=4(\cos \pi+i\sin \pi)\\
w=\sqrt[3]{(1+i)^4}=\sqrt[3]{4(\cos \pi+i\sin \pi)}=
\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{\cos \pi+i\sin \pi}\\
w_k=\sqrt[3]{4}\left(\cos \frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin \frac{\pi+2k\pi}{3}\right)\ \ \ k\in\{0,1,2\}}\)

To ci daje dopiero 3 perwiastki. Pozdrawiam.

[mexyk]

Aha kurcze tom zle zrozumałem, jakoś wlasnie tak wyglądało mi dziwnie zeby tak odzielnie wszystko liczyć, a to by miało sens he. Dzięki