równanie i nierówność z liczbami zespolonymi

gorgo · Post autor: **gorgo** » 19 paź 2005, o 21:14

Ogólnie to dopiero ucze się liczb zespolonych i dostałem kilka zadań do zrobienia w domu. Te spraiwają mi problem:
1) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\leq\arg(z^{3})\leq\pi}\)
2) \(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)
proszę o proste wytłumaczenie.
z góry dzięki

neworder · Post autor: **neworder** » 19 paź 2005, o 21:29

1. Jeśli z=cosx+isinx (postać trygonometryczna liczby zespolonej), to \(\displaystyle{ z^{3} = (cosx+isinx)^{3} = cos3x+isin3x}\) (ze wzoru De Moivre'a). Ma być \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), więc za \(\displaystyle{ arg(z^{3})}\) podstawiasz 3x i już.
2. Niech znów z=cosx+isinx, a więc z-i=cosx+i(sinx-1), użyj wzoru na sumę i różnicę sinusów (sinx+siny, sinx-siny, traktując 1 jako sin\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)), skorzystaj ze wzoru Moivre'a i już.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 19 paź 2005, o 21:39

W drugim tak na oko wydaje się, że prościej byłoby przenieść to na jedną stronę i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia, i potraktować jak równanie wielomianowe.
Taka drobna sugestia

neworder · Post autor: **neworder** » 20 paź 2005, o 11:19

Niby tak, ale z Moivre'a etc. więcej frajdy

Rogal · Post autor: **Rogal** » 20 paź 2005, o 21:32

Jeśli o algebrę to wręcz nienawidzę w niej takiej "interdyscyplinarności", jak używania trygonometrii (tak jak tutaj) czy analizy (pochodne).

neworder · Post autor: **neworder** » 20 paź 2005, o 21:42

Eee? Przecież właśnie na tej interdyscyplinarności polega cały smak matematyki!

Rogal · Post autor: **Rogal** » 20 paź 2005, o 21:46

To może w geometrii . Ja tam wyznaję filozofię, że jak algebra, to nic poza tym. Wiem, że w analizie korzysta się z algebry i to dużo, podobnie jak i w trygonometrii. Ale twierdzę, że odwrotna relacja, to tylko nasza ułomność i że algebra "da sobie radę sama".