Witam,
mam prośbę o sprawdzenie zadanka:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+i}}\)
Chodzi mi głównie o sposób w jaki należy rozwiązywać tego typu pierwiastki
Moja próba rozwiazania:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+i}=a+bi}\)
\(\displaystyle{ 1+i=(a+bi)^2}\)
\(\displaystyle{ 1+i=a^2+ab-b^2}\)
stąd mamy układ równań:
\(\displaystyle{ 1=a^2-b^2}\) - część rzeczywista
\(\displaystyle{ 1=2ab}\) - część urojona
\(\displaystyle{ b=\frac{1}{2a}}\) - z drugiego równania
\(\displaystyle{ 1=a^2-\frac{1}{4a^2}}\) - podst. do równania 1
\(\displaystyle{ 4a^2=4a^4-1=0}\)
\(\displaystyle{ 4a^4-4a^2-1=0}\)
i teraz podst. \(\displaystyle{ a^2=x}\) - chyba że inny sposób na rozw. równania 4-stopnia?
\(\displaystyle{ 4x^2-4x-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16+16=32, \sqrt{\Delta}=4\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_1=\frac{4-4\sqrt{2}}{8}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_2=\frac{4+4\sqrt{2}}{8}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\)
za \(\displaystyle{ a^2}\) podst.\(\displaystyle{ x_1:}\)
\(\displaystyle{ a_1^2=\frac{1-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_1=\sqrt{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}}\)
analogicznie:
\(\displaystyle{ a_2=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}}\)
i
\(\displaystyle{ b_1=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}}}\)
\(\displaystyle{ b_2=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}}}\)
wiec mamy obliczone: \(\displaystyle{ a_1 a_2 b_1 b_2}\)
i jakie będzie rozwiązanie?
podobno ma być takie(dlaczego \(\displaystyle{ \pm}\)):
\(\displaystyle{ \pm{(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}}+i\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}})}\)
czy wynika ono bezpośrednio z \(\displaystyle{ a_2}\) i \(\displaystyle{ b_2}\)?
Pozdrawiam.
