Zadanie z liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
logarytm_w
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 lip 2008, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: logarytm_w »

Witam jestem tu pierwszy raz, czy moze mi ktos pomoc w zrozumieniu tych 3 zadań,nie wiem skąd sie wziely te wyniki; cos arg u = cos arg(1+ i\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) ) =1/2
sin arg u = sin arg(1 + i\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)) = \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)/2
arg u = arg(1 + i\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)) = pi/3
Awatar użytkownika
N4RQ5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 15 lis 2006, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki/Wawa
Pomógł: 104 razy

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: N4RQ5 »

Wiesz czym jest argument liczby zespolonej? To kąt nachylenia prostej przechodzącej na płaszczyźnie zespolonej przez punkt (0,0) i daną liczbę (W tym przypadku \(\displaystyle{ (1, \sqrt 3)}\) ).
Dalej wystarczy narysować sobie schematyczny rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi proporcjami i wyznaczyć z niego wartości danych funkcji trygonometrycznych i z nich wartością kąta.
Ostatnio zmieniony 19 lip 2008, o 15:10 przez N4RQ5, łącznie zmieniany 1 raz.
frej

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: frej »

Podpowiedź:
Przedstaw liczbę \(\displaystyle{ u=1+i\sqrt{3}}\) w postaci trygonometrycznej.
logarytm_w
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 lip 2008, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: logarytm_w »

Dzieki serdeczne za pomoc, a co do postaci trygonometrycznej to własnie z nia mam najwiecej problemów. Przyklad ktory podałem był dośc prosty; najgorzej ze nierozumiem odwzorowania tego na postac trygonometryczna i juz tym bardziej sprzezenie. np.u = 2(cos pi/3 + isin pi/3), i teraz; spszężenie u= 2( cos 5pi/3 + isin 5pi/3) . I teraz skąd tam sie wzieła ta 5 przed znakiem "pi" wiem ze jest jakis wzór na określenie tego ale ostatnio mam istny "groch z kapusta" w głowie . prosił bym was o jakis wzór ew. o wytłumaczenie. Dalej juz sobie dam rade dzieki N4RQ5 własnie na poczatku o to mi chodziło. pozdrawiam
sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: sigma_algebra1 »

skopiowałam z wikipedii

\(\displaystyle{ z = a + bi = |z|\tfrac{a}{|z|} + |z|\tfrac{b}{|z|}i = |z|(\cos \phi + i\sin \phi)}\)

gdzie |z| to moduł liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}}\)
frej

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: frej »

\(\displaystyle{ z=a+bi= ft| z\right|(cos{x}+i\sin{x})}\), zatem sprzężenie wygląda tak: \(\displaystyle{ \overline{z}=a-bi= ft| z\right|(cos{x}-i\sin{x})}\)
Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \cos{x}=\cos{(-x)} \quad \quad -\sin{x}=sin{(-x)}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \overline{z}= ft| z \right| (cos{x} -i\sin{x})=\left| z \right| (cos{(-x)}+i\sin{(-x)})}\)
Tak więc wygląda postać trygonometryczna sprzężenia. W naszym przypadku jest:

\(\displaystyle{ z=2(cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}})}\), więc jest:
\(\displaystyle{ \overline{z}=2(cos{(-\frac{\pi}{3})}+i\sin{(-\frac{\pi}{3}))}\) po uwzględnieniu okresowości funkcji mamy:
\(\displaystyle{ 2(cos{(-\frac{\pi}{3})}+i\sin{(-\frac{\pi}{3}))=2(\cos{(2\pi - \frac{\pi}{3})}+i\sin{(2\pi -\frac{\pi}{3}}))=2(cos{(\frac{5}{3}\pi)}+i\sin{(\frac{5}{3}\pi}))}\)
logarytm_w
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 lip 2008, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: logarytm_w »

Spoko rozumie o co chodzi ze sprzezeniem ale dalej nie moge dojśc do tego skad tam jest ta 5 (wybacz moja upierdliwośc). Nie wiem czy dobrze mysle ale przegladnawszy wzory i "okresowość funkcji" doszedłem do wniosku ze pochodzi ona ze wzoru 2k"pi"/ n. popraw mnie jesli zle mysle. jak widzisz najbardziej interesuje mnie licznik tego ułamka -- wogole w całej tej postaci trygonometrycznej. dzieki serdeczne za pomoc pozdr.
sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: sigma_algebra1 »

Nie pochodzi ona ze wzoru 2k"pi"/n, tylko tak jak to frej ładnie napisał stąd, że \(\displaystyle{ cos(-\frac{\pi}{3}) = cos(-\frac{\pi}{3} + 2{\pi}) = cos(\frac{5\pi}{3})}\), a to właśnie wynika z okresowości funkcji cosinus, której okresem jest 2pi, analogicznie dla sinusa.
logarytm_w
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 lip 2008, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: logarytm_w »

aha czyli tu chodzi o okresowośc tej funkcji. No dobrze, napisałbym tu wzór ktory mi nie daje spokoju ale nie wiem jak tu wchodza te znaki z tego LaTeX-u. Wzór ten pochodzi z tej strony:

wazniak.mimuw.edu.pl/Analiza_matematyczna_1/Zbiory_liczbowe

a znajduje sie w tzw. Wniosku 1.32
zaczyna sie od zk=...
ten wzór -o czym swiadczy zamieszczony tam dowód i jeśli ja dobrze zrozumiałem- równierz mówi o okresowosci funkcji. Pewno "cięzki ze mnie karabin" ale ja poprostu chciałbym byc pewny na czym stoje. chciałbym wiedziec o czym ten wzór mowi, poniewaz okresowośc funkcji rozumie. Frej bardzo dobrze mi to przedstawił (dzieki w.) tylko jeszcze mi nie napisał z tym 2"pi" jak to sie ma do reszty działania i jak sie otrzymuje w zwiazku z tym 5. Moze pytanie wydaje sie smieszne i dziecinne ale niestety nie mam mozliwosci by zasiegnac od kogos pomocy. Znajomi nie znaja sie na tym, dziekuje za cierpliwosc
frej

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: frej »

Niestety link nie działa. Poza tym w regulaminie jest napisane, że do umieszczania zadań na forum trzeba maksymalnie wykorzystać możliwości forum.
Masz taki czerwony przycisk \(\displaystyle{ Tex}\) i żeby wpisać coś w latexie zrób tak:
jak chcesz coś wpisać, to wciśnij tex, potem z lewej strony masz guziki tex, i jak na nie klikniesz, to Ci się samo napisze w jeżyku tex-a. potem jak skończysz pisać wyrażenie matematyczne, to jeszcze raz wciśnij tex. Poradzisz sobie
sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: sigma_algebra1 »

chodziło zapewne o ten



ten wzór dotyczy wyznaczania pierwiastków z liczby zespolonej, no i te 2pi to tez wynika z okresowości patrząc na rysunek widać, że poruszasz się po kole czyli zakreślasz kąt równy właśnie 2pi
logarytm_w
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 lip 2008, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: logarytm_w »

Dzieki wielkie "sigma_algebra1" juz wiem o co chodzi, bardzo mi pomogły twoje posty. Po dłuższej analizie zadan i zamieszczonych tu postów przebrąłem przez te nieszczęsne liczby zespolone. dzieki wielkie raz jeszcze. pozdrawiam
sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: sigma_algebra1 »

pozdrawiam równiez...
ODPOWIEDZ