Rozkład na ułamki i równanie w zbiorze l. zespolonych

[morph]

1.Uzupełnij rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{2x+1}{(x+1)^{2}(x^{3}+X^{2}-2)}=\frac{A}{x-1}+...}\)
i oblicz współczynnik A

2.W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (iz+1)^{4}=(z-1)^{4}}\). Wynik Przedstawić w postaci algebraicznej.

[natkoza]

1
\(\displaystyle{ \frac{2x-1}{(x+1)^2(x^2+x^2-2)}=\frac{2x-1}{(x+1)^2(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{Dx+E}{x^2+2x+2}}\)
i teraz jeżeli się nie pomyliłam to bedzie do rozwiązania układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} A+B+D=0\\4A+2B+C+D=0\\7A+B+C-D+E=0\\6A-2B-D-E=2\\2A-2B-2C-D-E=1 \end{array}}\)
i stąd otrzymałam, ze \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} A=\frac{1}{6}\\B=-\frac{2}{3}\\C=\frac{1}{6}\\D=\frac{1}{2}\\E=-\frac{1}{2} \end{array}}\)
ale ponieważ jest dużo liczenia to mogłam się gdzieś pomylić (bo o to nie trudno )

[Lorek]

A taka sztuczka do 2giego
\(\displaystyle{ (iz+1)^4-(z-1)^4=0}\)
teraz zauważmy, że
\(\displaystyle{ a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a-bi)(a+bi)(a-b)(a+b)}\)
a zatem \(\displaystyle{ a^4-b^4=0\iff a=bi\;\vee\; a=-bi\;\vee\; a=b\;\vee\; a=-b}\)
i mamy następujące rozwiązania z naszego wyjściowego równania
\(\displaystyle{ iz+1=i(z-1)\;\vee\; iz+1=-i(z-1)\;\vee\; iz+1=z-1\; \; iz+1=-(z-1)}\)
no i pozostaje \(\displaystyle{ z}\) policzyć[/b]