Wielomian

[arikadiusz]

Wyznaczyc pierwiastki tego wielomianu:

\(\displaystyle{ W(z) = z^3 + \frac{8}{3}z^2 + \frac{10}{3}z + \frac{4}{3}}\)

[klaustrofob]

wskazówka: \(\displaystyle{ W(z)=(z^2+2z+2)(z+\frac{2}{3})}\). należy zacząć od szukania pierwiastkow wymiernych

[arikadiusz]

moglbys pokazac jak do tego doszles? ze trzeba wyznaczyc wymierne najpierw to ja wiem

[klaustrofob]

odpaliłem program Eigenmath z poleceniem factor... dobra, spróbujmy ręcznie: mnożę przez 3: \(\displaystyle{ 3W(z)=3z^3+8z^2+10z+4}\). całkowite: -1,1,-2,2,-4,4. nie pasują. wymierne: od razu sprawdzę \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}: 3W(-\frac{2}{3})=3\cdot(-\frac{2}{3})^3+8\cdot(-\frac{2}{3})^2+10\cdot(-\frac{2}{3})+4=-\frac{8}{9}+\frac{32}{9}-\frac{60}{9}+\frac{36}{9}=0}\).

[arikadiusz]

ok to ostatnie pytanie i cie nie mecze wiecej

na jakiej zasadzie znalazles pierwiastek wymierny -2/3 ?

[klaustrofob]

jeżeli \(\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}\) jest wielomianem o wsp. całkowitych, a \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jego pierwiastkiem wymiernym w postaci nieskracalnej, to \(\displaystyle{ p|a_0\wedge q|a_n}\). z tego tw. wynika, że szukając pierwiastków wymiernych należy wypisać wszystkie możliwe ułamki p/q takie jak w twierdzeniu i sprawdzać, czy są pierwiastkami. trochę to żmudne, ale czasem nie ma wyjścia.

[arikadiusz]

a skad p i q wziasc?

[klaustrofob]

dobra, na naszym przykładzie: dzielnikami 3 są 1, -1, 3 i -3: 1 i -1 odpuszczamy, bo prowadziłyby do pierwiastków całkowitych. dzielnikami 4 są -1, 1, -2, 2, -4, 4. bierzesz wszystkie ułamki: \(\displaystyle{ -\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{4}{3}}\) i sprawdzasz.