rownanie 3go stopnia

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
mim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 kwie 2008, o 14:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: krk
Podziękował: 3 razy

rownanie 3go stopnia

Post autor: mim »

niech \(\displaystyle{ z _{1}, z _{2}, z _{3}}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ z ^{3}-z ^{2}+2=0}\)
podaj wartości:
a) części rzeczywistych \(\displaystyle{ z _{1}, z _{2}, z _{3}}\)
b) części urojonych \(\displaystyle{ z _{1}, z _{2}, z _{3}}\)
c)\(\displaystyle{ z _{k} - \overline{z} _{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ z _{k}}\) jest dowolnym nierzeczywistym pierwiastkiem
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

rownanie 3go stopnia

Post autor: Lorek »

Na oko już widać, że \(\displaystyle{ z_1=-1}\), dzielimy Hornerem czy rozkładamy na czynniki czy co tam chcemy i mamy
\(\displaystyle{ z^3-z^2+2=0\\(z+1)(z^2-2z+2)=0}\)
1szy nawias to wiadomo, zajmijmy się drugim:
\(\displaystyle{ z^2-2z+2=0\\(z-1)^2+1=0\\(z-1)^2-i^2=0\\(z-1-i)(z-1+i)=0}\)
i mamy pierwiastki
\(\displaystyle{ z_1=-1,\; z_2=1-i,\; z_3=1+i}\)
a) \(\displaystyle{ \Re(z_1)=-1,\;\Re(z_2)=\Re(z_3)=1}\)
b) \(\displaystyle{ \Im(z_1)=0,\;\Im(z_2)=-1,\;\Im(z_3)=1}\)
c) \(\displaystyle{ z_2-\overline{z_2}=1-i-(1+i)=-2i}\)
ODPOWIEDZ