znależć pierwiastki
-
kasiunia_bb
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 4 gru 2007, o 17:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 5 razy
znależć pierwiastki
Witam. Prosze o pomoc w rozwiazaniu zadania: znależć wszystkie pierwiatki ósmego stopnia z 4 nalężące do ziboru liczb zespolonych. Rozwiązać algebraicznie i geometrycznie oraz podac postac wykladnicza. Z gory dziekuje!!!
-
Brzytwa
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
znależć pierwiastki
1) Geometrycznie.
Rysujesz okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=\sqrt[8]{4}=\sqrt[4]{2}}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Następnie wpisz ośmiokąt foremny w ten okrąg, przy czym jego jednym z wierzchołków będzie punkt \(\displaystyle{ (\sqrt[4]{2},0)}\). Jego wierzchołki będą szukanymi rozwiązaniami.
2) Algebraicznie
Niech \(\displaystyle{ \sqrt[8]{4}=x}\). Wówczas \(\displaystyle{ x^{8}=4}\), czyli
\(\displaystyle{ x^{8}-4=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{4}-2)(x^{4}+2)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-\sqrt{2})(x^{2}+\sqrt{2})(x^{2}-\sqrt{2}i)(x^{2}+\sqrt{2}i)}\)
\(\displaystyle{ (x-\sqrt[4]{2})(x+\sqrt[4]{2})(x-\sqrt[4]{2}i)(x+\sqrt[4]{2}i)(x+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}-\frac{\sqrt[4]{8}}{ 2}i) (x-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}i) (x-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}i)(x+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}i) = 0}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[4]{2} \ \ x=\pm \sqrt[4]{2}i \ \ x= \frac{\sqrt[4]{8}}{2} \frac{\sqrt[4]{8}}{ 2}i \ \ x= \frac{\sqrt[4]{8}}{2} \frac{\sqrt[4]{8}}{ 2}i}\)
Rysujesz okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=\sqrt[8]{4}=\sqrt[4]{2}}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Następnie wpisz ośmiokąt foremny w ten okrąg, przy czym jego jednym z wierzchołków będzie punkt \(\displaystyle{ (\sqrt[4]{2},0)}\). Jego wierzchołki będą szukanymi rozwiązaniami.
2) Algebraicznie
Niech \(\displaystyle{ \sqrt[8]{4}=x}\). Wówczas \(\displaystyle{ x^{8}=4}\), czyli
\(\displaystyle{ x^{8}-4=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{4}-2)(x^{4}+2)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-\sqrt{2})(x^{2}+\sqrt{2})(x^{2}-\sqrt{2}i)(x^{2}+\sqrt{2}i)}\)
\(\displaystyle{ (x-\sqrt[4]{2})(x+\sqrt[4]{2})(x-\sqrt[4]{2}i)(x+\sqrt[4]{2}i)(x+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}-\frac{\sqrt[4]{8}}{ 2}i) (x-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}i) (x-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}i)(x+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}+\frac{\sqrt[4]{8}}{2}i) = 0}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[4]{2} \ \ x=\pm \sqrt[4]{2}i \ \ x= \frac{\sqrt[4]{8}}{2} \frac{\sqrt[4]{8}}{ 2}i \ \ x= \frac{\sqrt[4]{8}}{2} \frac{\sqrt[4]{8}}{ 2}i}\)