i^n

[cesarks]

Witam,
w jaki sposób można udowodnić że: \(\displaystyle{ i^{n}}\) dla n należących do l.naturalnych może przyjmować tylko wartości: 1,-1,i,-i

[Zlodiej]

Narazie przychodzi mi do głowy tylko pomysł indukcyjny ?

Niech \(\displaystyle{ k\,\in\,N}\)
Wtedy mamy takie możliwości:

\(\displaystyle{ i^{4k}=1}\)

\(\displaystyle{ i^{4k+1}=i}\)

\(\displaystyle{ i^{4k+2}=-1}\)

\(\displaystyle{ i^{4k+3}=-i}\)

Wiedząc, że \(\displaystyle{ i=(0,1)}\) i potrafiac mnożyć liczby zespolone przeprowadzasz dowód indukcyjny dla każdej z tych 4 równości ...

Ale to za długie jest więc ... musi być coś prostszego :]

[juzef]

\(\displaystyle{ i^n=[cos(\frac{\pi}{2})+i\cdot sin(\frac{\pi}{2})]^n=cos(\frac{n\cdot\pi}{2})+i\cdot sin(\frac{n\cdot\pi}{2})}\). Teraz wykorzystaj okresowość funkcji trygonometrycznych.