Witam,
w jaki sposób można udowodnić że: \(\displaystyle{ i^{n}}\) dla n należących do l.naturalnych może przyjmować tylko wartości: 1,-1,i,-i
i^n
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
i^n
Narazie przychodzi mi do głowy tylko pomysł indukcyjny ?
Niech \(\displaystyle{ k\,\in\,N}\)
Wtedy mamy takie możliwości:
\(\displaystyle{ i^{4k}=1}\)
\(\displaystyle{ i^{4k+1}=i}\)
\(\displaystyle{ i^{4k+2}=-1}\)
\(\displaystyle{ i^{4k+3}=-i}\)
Wiedząc, że \(\displaystyle{ i=(0,1)}\) i potrafiac mnożyć liczby zespolone przeprowadzasz dowód indukcyjny dla każdej z tych 4 równości ...
Ale to za długie jest więc ... musi być coś prostszego :]
Niech \(\displaystyle{ k\,\in\,N}\)
Wtedy mamy takie możliwości:
\(\displaystyle{ i^{4k}=1}\)
\(\displaystyle{ i^{4k+1}=i}\)
\(\displaystyle{ i^{4k+2}=-1}\)
\(\displaystyle{ i^{4k+3}=-i}\)
Wiedząc, że \(\displaystyle{ i=(0,1)}\) i potrafiac mnożyć liczby zespolone przeprowadzasz dowód indukcyjny dla każdej z tych 4 równości ...
Ale to za długie jest więc ... musi być coś prostszego :]
- juzef
- Użytkownik
- Posty: 890
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
i^n
\(\displaystyle{ i^n=[cos(\frac{\pi}{2})+i\cdot sin(\frac{\pi}{2})]^n=cos(\frac{n\cdot\pi}{2})+i\cdot sin(\frac{n\cdot\pi}{2})}\). Teraz wykorzystaj okresowość funkcji trygonometrycznych.