pierwiastek kwadratowy

[ślimak]

Mając \(\displaystyle{ z=a+bi}\) znajdź:

\(\displaystyle{ \sqrt{z}}\)

nie chodzi mi o samo podanie wzorów, tylko również ich wyporwadzenie

[natkoza]

pierwiastkami kwadratowymi z liczby \(\displaystyle{ z}\) są takie liczb \(\displaystyle{ c_1,c_2}\) że \(\displaystyle{ c_1^2=z}\) i \(\displaystyle{ c_2^2=z}\)
\(\displaystyle{ c=d+ei}\)
zatem \(\displaystyle{ c^2=(d+ei)^2=d^2+2dei+b^2}\)
zatem aby wyliczyć pierwiastki musisz rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d^2+e^2=a\\2dei=bi\end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d^2+e^2=a\\2de=b\end{cases}}\)
otrzymasz dwa rozwiązania tego układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} d_1\\e_1\end{cases}}\) i \(\displaystyle{ \begin{cases} d_2\\e_2\end{cases}}\)
wówczas \(\displaystyle{ c_1=d_1+e_1i}\) \(\displaystyle{ c_2=d_2+e_2i}\)

[frej]

\(\displaystyle{ i^2=-1}\) ,więc ten układ równań bedzię wyglądał tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d^2-e^2=a \\ 2de=b \end{cases}}\)

zeby to policzyc z drugiego równania wyznaczasz którąś zmienną i podstawiasz do pierwszego rówania. Powstaje ci równanie dwukwadratowe, podstawiasz zmienną pomocniczą i wyliczysz je.