liczby zespolonee

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Roni17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 15 lis 2006, o 18:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pszczyna
Podziękował: 8 razy

liczby zespolonee

Post autor: Roni17 »

1. Obliczyc pierwsiastki kwadratowe liczb
\(\displaystyle{ 3+4i}\)
zrobiłem to tak \(\displaystyle{ (a+ib)^2=3+4i}\)
z tego wyszlo mi ze \(\displaystyle{ a=2}\)lub \(\displaystyle{ a=-2}\)
i dalej nie wiem jak to zrobic?
2.Przedstawić w postaci trygonometrycznej (wykładniczej)

a.\(\displaystyle{ -7-7i}\)

b. \(\displaystyle{ 4-4 \sqrt{3}i}\)

3. Wyrazic \(\displaystyle{ \sin 3 }\) i \(\displaystyle{ \cos 3 }\) przez potegi \(\displaystyle{ \sin }\)i\(\displaystyle{ \cos }\)
natkoza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2278
Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 602 razy

liczby zespolonee

Post autor: natkoza »

oznaczmy przez \(\displaystyle{ c}\) szukane pierwiastki.
Wiemy, ze \(\displaystyle{ c=a+bi}\)
oraz \(\displaystyle{ c^2=(a+bi)^2=3+4i}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a^2+2abi-b^2=3+4i}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=3\\2abi=4i\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=3\\ab=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=3\\a=\frac{2}{b}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (\frac{2}{b})^2-b^2=3\Rightarrow \frac{4}{b^2}-b^2=3 -b^4-3b^2+4=0 b=1 b=-1\\a=\frac{2}{1}\vee a=\frac{2}{-1}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2\\b=1\end{cases} \begin{cases} a=-2\\b=-1\end{cases}}\)
ODPOWIEDZ