obicz wyznacznik

[majastrz2]

Oblicz wyznacznik macierzy\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1-i& 1& 0 & 0\\0 &-1-i & 1 & 0\\0 & 0 &-1-i & 1\\-2&-2 & 1 &-1-i\end{array}\right]}\)

[gajatko]

Oznaczam dla wygody \(\displaystyle{ p=-1-i}\)
Wtedy zeruję algorytmem Gaussa i otrzymuję mac. trójkątną:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}
p& 1& 0 & 0\\
0 &p & 1 & 0\\
0 & 0 &p& 1\\
-2&-2 & 1 &p
\end{array}\right|\to
ft|\begin{array}{cccc}
p& 1& 0 & 0\\
0 &p & 1 & 0\\
0 & 0 &p& 1\\
0&-2p+2 & p+2&p^2
\end{array}\right|\to
ft|\begin{array}{cccc}
p& 1& 0 & 0\\
0 &p & 1 & 0\\
0 & 0 &p& 1\\
0&0 & p^2+4p-2&p^3
\end{array}\right|\to
ft|\begin{array}{cccc}
p& 1& 0 & 0\\
0 &p & 1 & 0\\
0 & 0 &p& 1\\
0&0 & 0&p^4-p^2-4p+2
\end{array}\right|=
p^3(p^4-p^2-4p+2)}\)
Dalej podstawiasz
\(\displaystyle{ p=-1-i=\sqrt 2(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4})}\)
i liczysz.