znajdź pierwiastki liczby zespolonej

[mardoq]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-11-2i}}\)

[soku11]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-11-2i}=w\\
-11-2i=w^3\\
w=x+iy\\
-11-2i=(x+iy)^3\\
-11-2i=x^3+3x^2iy+3xi^2y^2+i^3y^3\\
-11-2i=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3 i\\
-11-2i\equiv x^3-3xy^2 +i(3x^2y-y^3)\\
\begin{cases}
x^3-3xy^2=-11\\
3x^2y-y^3=-2\end{cases}}\)

Trzeba ten uklad rozwiazac tylko jakos. POZDRO

[mardoq]

no właśnie o to jakoś mi chodzi

[Crizz]

Spróbuj podstawić y=tx, jak się gdzieś nie walnąłem, to wychodzi\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{3}(1-3t^{2})=-11 \\ tx^{3}(3-t^{2})=-2 \end{cases}}\), dzielisz stronami te równania i masz \(\displaystyle{ -11t^{3}+6t^{2}+33t-2=0}\), tu widać, że może być \(\displaystyle{ t=2}\), a jak podzielisz sobie ten wielomian przez t-2, to masz już równanie 2 stopnia. Potem dla trzech wartości t, które dostaniesz rozwiązujesz układ wyjściowy podstawiając tx zamiast y. Wychodzi: \(\displaystyle{ 1+2i, \sqrt{3}- \frac{1}{2}-( \frac{ \sqrt{3} }{2} +1)i, -\sqrt{3}- \frac{1}{2}+( \frac{ \sqrt{3} }{2} -1)i}\)