Oblicz wartość wyrażeń - podstawy

[zoltar]

Witam,
mam takie zadanie ze szkoły. Proszę o pomoc, bo nie wiem od której strony sie za to zabrać.
Czy mimo tego że mam podać w postaci algebraicznej to powinienem i tak liczyć to opierając się na Twierdzeniu de Moivre'a?

Oblicz wartości podanych wyrażeń (wyniki podać w postaci algebraicznej)
1. \(\displaystyle{ (1-i) ^{12}}\)

Bardzo proszę tylko krok po kroku

[soku11]

No to trzeba miec postac trygonometryczna by zastosowac wzor de Moivre'a:
\(\displaystyle{ 1-i=\frac{2}{\sqrt{2}}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i \right)=
\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i \right)=
\sqrt{2}\left( \cos \frac{7\pi}{4} +i\sin \frac{7\pi}{4} \right)=w\\
w^{12}=\left[\sqrt{2}\left( \cos \frac{7\pi}{4} +i\sin \frac{7\pi}{4} \right) \right] ^{12}=
2^6[\cos (21\pi)+i\sin (21\pi)]=
2^6[\cos (\pi)+i\sin (\pi)]=
64(-1+0\cdot i)=-64}\)

Chyba nigdzie bledu zadnego nie walnalem POZDRO

[zoltar]

Dzięki, tyle samo mi wyszło na kalkulatorze, wiec błędu raczej nie walnąłeś
Czyli jednak trzeba brnąć przez Moivre'a.
Teraz zostało tylko zrozumiec co skąd sie wzięło

pozdrawiam

Jedno pytanie co do tego fragmentu

\(\displaystyle{ 2^6[\cos (21\pi)+i\sin (21\pi)]=
2^6[\cos (\pi)+i\sin (\pi)]=}\)

Powiedz mi co się stało z tym 21 ?

[soku11]

Tzn nie trzeba wcale Mozesz skorzystac ze wzoru Newtona:
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}a^{n-k}\cdot b^k}\)

Jednak nie polecam tak tego liczyc bo mozna zrobic maaaase bledow przy rachunkach. POZDRO

[ Dodano: 22 Marca 2008, 23:45 ]
\(\displaystyle{ \cos (21\pi)=\cos(20\pi+\pi)=\cos(\pi)}\)

Standardowy wzor z trygonometrii POZDRO

[zoltar]

Dzięki

[Sylwek]

Co prawda na liczbach zespolonych znam się tyle, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\) , no ale tak zajrzałem niechcący i sądzę, że da się to zrobić prościej :

\(\displaystyle{ (1-i)^{12}=((1-i)^2)^6=(1-2i+i^2)^6=(1-2i-1)^6=(-2i)^6 = \\ =(4i^2)^3=(-4)^3=-64}\)

Wesołych Świąt

[zoltar]

No to faktycznie krótszy sposób.
Dzieki,
a czy da sie tak samo krótko rozpisać:
\(\displaystyle{ (1+\sqrt{3i})^8}\) ? czy to juz lepiej liczyc tym dłuższym sposobem ?

I oczywiście równiez Wesołych Świąt

--
Tym dłuższym sposobem dotarłem do postaci:
\(\displaystyle{ [2(cos \frac{\pi}{3}+isin \frac{\pi}{3} )]^8}\)

co moge dalej ?

[soku11]

Zakladam, ze to i powinno byc poza pierwiastkiem.
Krotszym raczej nie wyjdzie, bo sie nic nie uprosci. Chociaz mozesz probowac podnosic w kolko do potegi drugiej, tj:
\(\displaystyle{ ((1+\sqrt{3}i)^2)^4=(1+2\sqrt{3}i+3i^2)^4=
(1+2\sqrt{3}i-3)^4=
(2\sqrt{3}i-2)^4=
16(\sqrt{3}i-1)^4=
16((\sqrt{3}i-1)^2)^2=
16(3i^2-2\sqrt{3}i+1)^2=
16(-3-2\sqrt{3}i+1)^2=
16(-2-2\sqrt{3}i)^2=
16(2+2\sqrt{3}i)^2=
64(1+\sqrt{3}i)^2=
64(1+2\sqrt{3}i+3i^2)=
64(1+2\sqrt{3}i-3)=
64(2\sqrt{3}i-2)=
128(\sqrt{3}i-1)}\)

A dluzszym dalej otrzymujesz ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ =2^8(\cos \frac{8\pi}{3}+i\sin \frac{8\pi}{3})=
...}\)

POZDRO

[zoltar]

Dzieki
Juz wszystko jasne.