\(\displaystyle{ z^4+1=i \sqrt{3}\\
z^2+36=0\\
z^7+z^4+z^3+1=0\\
Im[(1+2i)z-3i]}\)
rozwiąż równania
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
rozwiąż równania
\(\displaystyle{ z^7+z^4+z^3+1=0\\
z^4(z^3+1)+(z^3+1)=0\\
(z^4+1)(z^3+1)=0\\
\mbox{ze wzorow skroconego mnozenia:}\\
(z^2-i)(z^2+i)(z+1)(z^2-z+1)=0}\)
Dalej już prosto
\(\displaystyle{ z^4+1=i\sqrt{3}\\
z^4=2\cdot \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right )\\
z^4=2\cdot \left( \cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)}\)
Teraz ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z_k=\sqrt[4]{2}\left( \cos\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi }{4}+i\sin\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi }{4}\right) \quad k\in\{0,1,2,3\}}\)
z^4(z^3+1)+(z^3+1)=0\\
(z^4+1)(z^3+1)=0\\
\mbox{ze wzorow skroconego mnozenia:}\\
(z^2-i)(z^2+i)(z+1)(z^2-z+1)=0}\)
Dalej już prosto
\(\displaystyle{ z^4+1=i\sqrt{3}\\
z^4=2\cdot \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right )\\
z^4=2\cdot \left( \cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)}\)
Teraz ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z_k=\sqrt[4]{2}\left( \cos\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi }{4}+i\sin\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi }{4}\right) \quad k\in\{0,1,2,3\}}\)