Przekształcenie

[legos]

Zbadać w co przechodzi przy przekształceniu \(\displaystyle{ w= \frac{1}{z}}\) :
rodzina prostych \(\displaystyle{ y=kx}\) \(\displaystyle{ k R}\)
Robie to tak:
\(\displaystyle{ w(x,y)= \frac{x}{ x^{2}+ y^{2} } - \frac{y}{x^{2}+ y^{2}}i}\)
biore sobie
\(\displaystyle{ u(x,y)= \frac{x}{ x^{2}+ y^{2} }}\)
podstawiam \(\displaystyle{ y=kx}\)
i mam
\(\displaystyle{ u(x,y)= \frac{1}{x( k^{2}+1) }}\)
podobnie robie dla V
\(\displaystyle{ v(x,y)= \frac{ k}{x( k^{2}+1) }}\)
i jak mam z tego odczytac w co to przeszlo??
czyli jakie sa x i y.....
dzieki

[Qń]

Obrazem prostej \(\displaystyle{ y=kx}\) jest prosta \(\displaystyle{ y=-kx}\).

I sposób
Skoro \(\displaystyle{ w(x,y) = ft( \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{-y}{x^2+y^2} \right)}\), to: \(\displaystyle{ w(x,kx) = ft( \frac{x}{x^2+(kx)^2}, \frac{-kx}{x^2+(kx)^2} \right)}\), skąd widać, że \(\displaystyle{ w(x,kx)}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y=-kx}\). Skoro zaś \(\displaystyle{ w(x,kx)}\) jest ciągłą funkcją iksa, która dodatkowo w nieskończoności dąży do zera, a w zerze dąży do punktu nieskończenie odległego od zera, to każdy punkt (z wyjątkiem \(\displaystyle{ (0,0)}\)) jest wartością tej funkcji dla pewnego iksa, więc jest to cała prosta (z wyjątkiem zera).

II sposób
Mamy: \(\displaystyle{ z f(z) = 1}\). Z własności mnożenia liczb zespolonych musi być: \(\displaystyle{ Arg(z) + Arg(f(z)) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ |z|\cdot |f(z)| = 1}\). Z pierwszej równości dostajemy, że obraz prostej \(\displaystyle{ y=kx}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ y=-kx}\), natomiast z drugiej, że ów obraz jest całą tą prostą (z wyjątkiem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\)).

Q.

[mol_ksiazkowy]

A to przekształcenie w , to jest chyba... złożenie inwersji z symetrią osiowa, ?! A skoro zachodzi twierdzenie ze Inwersja przekształca prosta nie przechodzaca przez srodek inwersji w okrąg , zas prosta przechodzaca przez ten srodek przekształca w te sama prosta. Tak ze by sie tu to ładnie zgadzało z tym co policzyliscie!

[Qń]

A to przekształcenie w , to jest chyba... złożenie inwersji z symetrią osiowa, ?!

Raczej inwersji z obrotem, co nie rzutuje na Twoje dalsze rozumowanie - niemniej wypadałoby najpierw fakt, że jest tym złożeniem udowodnić.

Edit
Odszczekuję - masz rację, inwersja i symetria, ale i tak należałoby o najpierw udowodnić.

Q.

[legos]

a w przykładzie \(\displaystyle{ y=x+b}\) obrazem bedzie \(\displaystyle{ y=-x-b}\) ??
w wtedy juz z punktem \(\displaystyle{ (0,0)}\) ??
dzieki wielkie

[Qń]

Obrazem prostej \(\displaystyle{ y=x+b}\) dla \(\displaystyle{ b 0}\) będzie okrąg.

Dowód tego co napisał mol tak naprawdę już został napisany w II sposobie rozwiązania poprzedniego przykładu - jeśli bowiem przekształcimy punkt \(\displaystyle{ z}\) przez inwersję względem okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), to dostaniemy punkt o tym samym argumencie co \(\displaystyle{ z}\) i module \(\displaystyle{ \frac{1}{|z|}}\); jeśli następnie odbijemy otrzymany punkt symetrycznie względem osi \(\displaystyle{ OX}\) to modułu nie zmienimy, natomiast argument będzie równy \(\displaystyle{ -Arg{z}}\), więc po tym drugim przekształceniu dostaniemy \(\displaystyle{ W(z)}\). Ergo: \(\displaystyle{ W(z)}\) jest złożeniem inwersji i symetrii, a zatem istotnie przekształca proste nieprzechodzące przez środek inwersji (\(\displaystyle{ (0,0)}\)) na okręgi.

W naszym wypadku mamy: \(\displaystyle{ W(0,b)= ft(0, -\frac{1}{b}\right), W(-b,0) = ft(-\frac{1}{b},0\right), W\left(-\frac{b}{2},\frac{b}{2}\right) =\left(-\frac{1}{b},-\frac{1}{b}\right)}\) - mamy więc trzy punkty należące do okręgu będącego obrazem, bez trudu więc możemy obliczyć, że równanie tego okręgu to:
\(\displaystyle{ \left(x+\frac{1}{2b} \right)^2 + ft(y+\frac{1}{2b} \right)^2 = \frac{1}{2b^2}}\)
Trzeba jednak pamiętać, że chodzi nam o okrąg bez punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), bo ów punkt jest obrazem punktu w nieskończoności.

Q.