Rozłożyć wielomian na czynniki nierozkładalne

[karlkar]

siemka. Tak jak w temacie.
\(\displaystyle{ w(z)=z^{4}+6z^{2}+25}\)

spróbowałem to sam zrobić, ale mi źle wyszło (\(\displaystyle{ 2z^{2}+8-2z-2z \sqrt{7}}\))

[Enzo89]

\(\displaystyle{ x^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ w(t)=t^{2}+6t+25}\)
Z f. kwadratową sobie poradzisz ?

[karlkar]

to ja może napisze do czego doszedłem ^^

\(\displaystyle{ t^{2}+6t+25=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-64}\)
\(\displaystyle{ \sqrt(\Delta)=8}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=-7}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ (z-1)(z+1)(z-\sqrt{7})(z+\sqrt{7})=0}\)
\(\displaystyle{ 2z^{2}+8-2z-2z\sqrt{7}}\)

gdzie popełniłem błąd?

[Enzo89]

Ten wielomian nie ma pierwiastków, nie ma postaci iloczynowej. Jesteś pewien że można liczyć pierwiastek z liczby ujemnej ? !!

[arpa007]

delta nam nic nie da trzba recznie rozlozyc:
\(\displaystyle{ W(x)=z^2(z^2+6+ \frac{25}{z^2})}\)
chyba inaczej sie nie da

Podstawowe twierdzenie algebry- Każdy wielomian jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

delta nic nie rozlozymy

edit1 przepraszam nie zauwazylem ze to dzial liczby zespolone, nie zna,m tego dzialu:(

[karlkar]

Do Enzo89:
na liczbach zespolonych można:

Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych

Zasadnicze twierdzenie algebry
W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami pierwiastków) i rozkłada się na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego.

W zbiorze liczb rzeczywistych mogliśmy rozłożyć wielomian na czynniki stopnia pierwszego i na nierozkładalne czynniki stopnia drugiego. Stąd też wynika, że w zbiorze liczb rzeczywistych wiemy tylko, że pierwiastków jest conajwyżej n. Wnioskiem z zasadniczego twierdzenia algebry jest fakt, że w zbiorze liczb zespolonych nie ma nierozkładalnych wielomianów stopnia drugiego. I rzeczywiście: gdy wyróżnik jest większy lub równy 0, to nic się nie zmienia, natomiast gdy wyróżnik jest mniejszy od zera, to istnieją dwa różne pierwiastki.

Postępujemy w następujący sposób: Liczymy wyróżnik i jeżeli jest on mniejszy od zera, to liczymy pierwiastki z wyróżnika - wystarczy wybrać jeden z nich - i podstawiamy do wzoru na pierwiastki wielomianu.

Moge prosić o rozwiązanie tego w zbiorze liczb zespolonych? Kroczek po kroku?

[Enzo89]

A to przepraszam.

[Wasilewski]

No to chyba można najpierw zastosować to podstawienie:
\(\displaystyle{ t = z^2 \\
t^2 + 6t + 25 = w(t) \\
\Delta - 64 \\
\sqrt{\Delta} = 8i \\
t = \frac{-6 8i}{2} = -3 4i \\
w(t) = (t + 3 - 4i)(t + 3 + 4i)}\)
Wracamy do z:
\(\displaystyle{ w(z) = (z^2 + 3 - 4i)(z^2 + 3 + 4i)}\)
I tu zachęcam do zajrzenia do kompendium do artykułu o liczeniu pierwiastków z liczb zespolonych, żeby dokonać dalszego rozkładu.

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ z^4+6z^2+25=(z^2+3)^2+16=(z^2+3)^2-(4i)^2=(z^2+3-4i)(z^2+3+4i)}\)

[Szemek]

to ja jeszcze inny 'myk' zaprezentuję

\(\displaystyle{ w(z)=z^{4}+6z^{2}+25}\)

\(\displaystyle{ (z^2+az+b)(z^2-az+b)=z^4+(2b-a^2)z^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2b-a^2=6 \\ b^2=25 \end{cases} \\
\begin{cases} b=5 \\ a \in \{-2,2\} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z^{4}+6z^{2}+25=(z^2+2z+5)(z^2-2z+5)}\)

[karlkar]

czyli teraz muszę obliczyć pierwiastek liczby \(\displaystyle{ z^{2}=-3+4j}\) i \(\displaystyle{ z^{2}=-3-4j}\) czy tak?

[Lukasz_C747]

Tak, a następnie korzystasz ze wzoru a^2-b^2=(a-b)(a+b).

[karlkar]

no to mamy:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{-3+4j}}\)
\(\displaystyle{ z=(x+jy)^{2}=\sqrt{-3+4j}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+2xjy-y^{2}=\sqrt{-3+4j}}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}+2xjy-y^{2})^{2}=-3+4j}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{2}y^{2}+y^{4} + 4x^{3}jy-2x^{2}y^{2}-4xjy^{3}=-3+4j}\)
\(\displaystyle{ Re(z)=-3}\) i \(\displaystyle{ Im(z)=4}\)

\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{2}y^{2}+y^{4}-2x^{2}y^{2}=-3}\)
i
\(\displaystyle{ 4x^{3}y-4xy^{3}=4}\)

i po rozwiązaniu tego ukłądu mam wynik?

[Lukasz_C747]

Oj namieszałeś.
\(\displaystyle{ -3+4i=1+4i-4=(1+2i)^2\\
-3-4i=(1-2i)^2\\
w(z)=(z-1-2i)(z+1+2i)(z-1+2i)(z+1-2i)}\)

[karlkar]

Czy taki sam wynik da rozłożenie wielomianu \(\displaystyle{ z^{4}+7-24j}\)?