Znajdź postać algebraiczną...

[bjera]

Znajdź postać algebraiczną \(\displaystyle{ \left(a+ib\right)}\) liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ 1+\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)+\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)^{2}+...+\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)^{n}}\)

Jeśli pomyliłem kategorie to sorka, ale nie wiedziałem gdzie to wrzucic, proszę o komentarz do ewentualnego rozwiązania pozdr.

[Hac_mi;]

udało mi sie wyprodukować do tego momentu a w dodatku nie jestem pewny czy to jest dobrze:

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{1-q}}\)
\(\displaystyle{ q = (cos \theta + isin \theta)}\)

ale niestety nie wiem co dalej .... Suma wyszła mi:
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{1-(cos \theta + isin \theta)}}\)

ale również cieszył bym sie gdyby ktoś pomógł

[kuch2r]

udało mi sie wyprodukować do tego momentu a w dodatku nie jestem pewny czy to jest dobrze:

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{1-q}}\)
\(\displaystyle{ q = (cos \theta + isin \theta)}\)

ale niestety nie wiem co dalej .... Suma wyszła mi:
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{1-(cos \theta + isin \theta)}}\)

ale również cieszył bym sie gdyby ktoś pomógł

stosujesz juz wzor na sume nieskonczonego szeregu geometrycznego, to musi byc spelniony warunek \(\displaystyle{ |q|}\)

[Hac_mi;]

aha, no tak racja, czyli robimy sumę ciągu geometrycznego ... ale co dalej ;/

[soku11]

No to mozna sprobowac inaczej, tj:
\(\displaystyle{ \alpha=x\\
1+\cos x+i\sin x+\cos 2x+i\sin 2x+...+\cos nx+i\sin nx=
\cos 0+i\sin 0+\cos x+i\sin x+\cos 2x+i\sin 2x+...+\cos nx+i\sin nx=
(\cos 0+\cos x+\cos 2x+...+\cos nx)+i(\sin 0+\sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin nx)}\)

A na te sumy sinusow gdzies jakies wzory byly, to moze ktos obczaic POZDRO

[Qń]

soku - te wzory na sumy sinusów i cosinusów biorą się właśnie z rozwiązania tego zadania, więc używanie ich do tego by to zadanie rozwiązać to coś jak wąż połykający własny ogon.

A rozwiązanie może wyglądać na przykład tak:
\(\displaystyle{ S=\frac{1- (\cos + i \sin )^{n+1}}{1-(\cos + i \sin )} = \\ =
\frac{(1- \cos (n+1)\alpha - i \sin (n+1)\alpha)(1-\cos + i \sin )}{(1-\cos - i \sin )(1-\cos + i \sin )}}\)
I teraz wystarczy wymnożyć wszystko w liczniku i przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) a następnie podzielić przez mianownik, czyli przez rzeczywistą liczbę \(\displaystyle{ (1-\cos )^2 + \sin^2 }\). Po drodze przy tym trochę się poupraszcza.

Q.

[soku11]

soku - te wzory na sumy sinusów i cosinusów biorą się właśnie z rozwiązania tego zadania, więc używanie ich do tego by to zadanie rozwiązać to coś jak wąż połykający własny ogon.

A rozwiązanie może wyglądać na przykład tak:
\(\displaystyle{ S=\frac{1- (\cos + i \sin )^{n+1}}{1-(\cos + i \sin )} = \\ =
\frac{(1- \cos (n+1)\alpha - i \sin (n+1)\alpha)(1-\cos + i \sin )}{(1-\cos - i \sin )(1-\cos + i \sin )}}\)
I teraz wystarczy wymnożyć wszystko w liczniku i przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) a następnie podzielić przez mianownik, czyli przez rzeczywistą liczbę \(\displaystyle{ (1-\cos )^2 + \sin^2 }\). Po drodze przy tym trochę się poupraszcza.

Q.

A no widziesz, nie wiedzialem ze to sie wlasnie z tego bierze POZDRO