Dowód faktu o liniwym przekształceniu l.zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Bronia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 cze 2007, o 21:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Dowód faktu o liniwym przekształceniu l.zespolonych

Post autor: Bronia »

Dostałam zadanie bonusowe na zajęciach, bo jestem jedyną dziewczyną w grupie. Niestety nie jestem zbyt biegła w przeprowadzaniu dowodów i bardzo proszę o pomoc. Treść: Udowodnij, że w zbiorze liczb zespolonych przekształcenie \(\displaystyle{ f(z)=u _{1}x+u_{2}y+i(u_{3}x+u_{4}y)}\), gdzie \(\displaystyle{ z C}\), \(\displaystyle{ z=x+iy, u_{i},x,y R}\) f(x+iy) jest liniowe.
Z góry dziękuję za wszelkie rozwiązania bądź wskazówki
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Dowód faktu o liniwym przekształceniu l.zespolonych

Post autor: kuch2r »

Mowimy ze przeksztalcenie \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe jezeli:
\(\displaystyle{ \forall z_1,z_2 \mathbb{C} \quad f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2)}\) oraz
\(\displaystyle{ \forall z_1\in\mathbb{C}, \in \mathbb{R} \quad f(\alpha z_1)=\alpha f(z_1)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ z_1,z_2\in \mathbb{C}}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ z_1=x_1+iy_1\\z_2=x_2+iy_2}\)
Stad:
\(\displaystyle{ f(z_1+z_2)=f(x_1+iy_1+x_2+iy_2)=f(x_1+x_2+i(y_1+y_2))=\\=u_1(x_1+x_2)+u_2(y_1+y_2)+i(u_3(x_1+x_2)+u_4(y_1+y_2))=u_1x_1+u_1x_2+u_2y_1+u_2y_2+i(u_3x_1+u_3x_2+u_4y_1+u_4y_2)=u_1x_1+u_2y_1+i(u_3x_1+u_4y_1) +u_1x_2+u_2y_2+i(u_3x_2+u_4y_2)=f(z_1)+f(z_2)}\)

Analogicznie do \(\displaystyle{ f(\alpha z_1)=\alpha f(z_1)}\)
Bronia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 cze 2007, o 21:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Dowód faktu o liniwym przekształceniu l.zespolonych

Post autor: Bronia »

Dziękuję uprzejmie za bardzo szybką odpowiedź!
ODPOWIEDZ