Udowodnij przy pomocy l. zespolonych

[m872]

\(\displaystyle{ \sin ^{4}x = \frac{1}{8}(\cos4x - 4\cos2x + 3)}\)

Wiem ze nalezy rozpisac \(\displaystyle{ ( \cos x + i \sin x)^{4}}\) przy pomocy wzoru deMoivre'a, wzoru skroconego mnozenia i porownac czesci rzeczywiste. Niestety potem zaczynaja sie schodzy, bo ilekroc chce uproscic wyrazenie i sprobowac doprowadzic jeden wzor do drugiego to zostaje jakies dodatkowe wyrazenie.

[Sir George]

A może spróbuj rozpisać \(\displaystyle{ \Big((\cos x+i\sin x)^2\Big)^2\,=\,\big(\cos2x+i\sin2x\big)^2}\) .... ?

[Qń]

Rozumiem, że używając wzoru de Moivre'a doszedłeś już do postaci:
\(\displaystyle{ \cos 4x = \cos^4 x - 6 \cos^2x \sin^2 x + \sin^4 x}\)
Mamy dalej równoważnie:
\(\displaystyle{ \cos 4x = (1- \sin^2 x)^2 - 6 (1 - \sin^2 x)\sin^2 x + \sin^4 x \\
\cos 4x = 1- 8 \sin^2x + 8 \sin^4 x}\)
Jak wiadomo (z kursu trygonometrii, albo ze wzoru de Moivre'a) \(\displaystyle{ \sin^2 x = \frac{1- \cos 2x}{2}}\), po wstawieniu tego do ostatniego wzoru i wyznaczenia \(\displaystyle{ \sin 4x}\) dostaniemy to co chcieliśmy.

Q.

[m872]

Dziekuje bardzo i chyle czola - mi obliczenia zajely ponad strone A4 a i tak efektu nie bylo.