Chcialem prosic o pomoc w rozwiazaniu kilku zadań,
1. Wyrazić \(\displaystyle{ \sin 3 \alpha}\) i \(\displaystyle{ \cos 3 \alpha}\) przez \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) posługując się wzorem de Moivre'a.
2. Obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + ... + \sin nx}\).
3. Dane są liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\). Jaki zbiór tworzą wszystkie punkty postaci \(\displaystyle{ z_1 t + z_2 (1 -t), t \in [0,1]}\) ? Jak zmieni się odpowiedź gdy \(\displaystyle{ t \in R}\) ?
4. Dana jest liczba zespolona \(\displaystyle{ z_0}\) i liczba rzeczywista dodatnia \(\displaystyle{ r}\). Jaki zbiór tworzą wszystkie punkty postaci \(\displaystyle{ z_0 + r e^{i t}, t \in [0, \pi]}\)? Jak zmieni się odpowiedź gdy \(\displaystyle{ t \in R}\)
5. Udowodnić równość \(\displaystyle{ 2 |z_1| + 2 |z_2| = | z_1 + z_2 - 2 \sqrt{z_1 z_2} | + | z_1 + z_2 + 2 \sqrt{z_1 z_2}|}\).
6. Dla jakich liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ |z_1| + |z_2| = |z_1 + z_2|}\) ?
Wzor de Moivre'a
-
Ambrose
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 15 lis 2007, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: D-ca
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Wzor de Moivre'a
\(\displaystyle{ \sin 3 }\)
najpierw zakładam że mam liczbę \(\displaystyle{ z C}\) której \(\displaystyle{ |z| = 1}\)
\(\displaystyle{ z = |z|(cos + i sin )}\) w moim przypadku (|z| = 1):
\(\displaystyle{ z = cos + i sin }\)
\(\displaystyle{ z ^{3} = cos 3 + i sin 3 }\)
\(\displaystyle{ (a+b) ^{3} = a ^{3} + a ^{2}b + ab ^{2} + b ^{3}}\)
\(\displaystyle{ (cos + i sin ) ^{3} = cos ^{3} + i cos ^{2} sin - 3 cos sin ^{2} - i sin ^{3} }\) od razu zamieniam \(\displaystyle{ i ^{2}}\) na \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ z _{1} = z _{2} Rez _{1} = Rez _{2} Imz _{1} = Imz _{2}}\)
\(\displaystyle{ sin 3 = cos ^{3} - 3cos sin ^{2} }\)
\(\displaystyle{ cos 3 = 3 cos ^{2} sin - sin ^{3} }\)
\(\displaystyle{ |z _{1}| + | z_{2} | = |z _{1} + z _{2}|}\)
głowy nie dam, że to jest dobrze
\(\displaystyle{ \sqrt{z _{1} \vec{z} _{1} } + \sqrt{z _{2} \vec{z} _{2} } = \sqrt{z _{1} \vec{z} _{1} z _{2} \vec{z} _{2} }}\)
\(\displaystyle{ z _{1} \vec{z} _{1} + 2 \sqrt{z _{1} \vec{z} _{1}z _{2} \vec{z} _{2}} + z _{2} \vec{z} _{2} = z _{1} \vec{z} _{1} + z _{2} \vec{z} _{2}}\)
\(\displaystyle{ |z _{1}z_{2}|=0}\)
\(\displaystyle{ |z_{1}||z_{2}|=0}\)
i chyba tyle, potem po prostu rozwiązujesz równanie
najpierw zakładam że mam liczbę \(\displaystyle{ z C}\) której \(\displaystyle{ |z| = 1}\)
\(\displaystyle{ z = |z|(cos + i sin )}\) w moim przypadku (|z| = 1):
\(\displaystyle{ z = cos + i sin }\)
\(\displaystyle{ z ^{3} = cos 3 + i sin 3 }\)
\(\displaystyle{ (a+b) ^{3} = a ^{3} + a ^{2}b + ab ^{2} + b ^{3}}\)
\(\displaystyle{ (cos + i sin ) ^{3} = cos ^{3} + i cos ^{2} sin - 3 cos sin ^{2} - i sin ^{3} }\) od razu zamieniam \(\displaystyle{ i ^{2}}\) na \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ z _{1} = z _{2} Rez _{1} = Rez _{2} Imz _{1} = Imz _{2}}\)
\(\displaystyle{ sin 3 = cos ^{3} - 3cos sin ^{2} }\)
\(\displaystyle{ cos 3 = 3 cos ^{2} sin - sin ^{3} }\)
\(\displaystyle{ |z _{1}| + | z_{2} | = |z _{1} + z _{2}|}\)
głowy nie dam, że to jest dobrze
\(\displaystyle{ \sqrt{z _{1} \vec{z} _{1} } + \sqrt{z _{2} \vec{z} _{2} } = \sqrt{z _{1} \vec{z} _{1} z _{2} \vec{z} _{2} }}\)
\(\displaystyle{ z _{1} \vec{z} _{1} + 2 \sqrt{z _{1} \vec{z} _{1}z _{2} \vec{z} _{2}} + z _{2} \vec{z} _{2} = z _{1} \vec{z} _{1} + z _{2} \vec{z} _{2}}\)
\(\displaystyle{ |z _{1}z_{2}|=0}\)
\(\displaystyle{ |z_{1}||z_{2}|=0}\)
i chyba tyle, potem po prostu rozwiązujesz równanie