Niby szybkie i proste zadanie :/

[Yaro88]

Nalezy obliczyc \(\displaystyle{ z^{24}}\) i \(\displaystyle{ \frac{z}{3+2i}}\) dla \(\displaystyle{ z= \sqrt{3} -i}\). Domyslam sie ze pewnie jest to b. proste ale nie moge tego rozpykac

[Wasilewski]

Pierwsze z wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{3 + 1} = 2 \\
cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{6}\\
z = 2(cos\frac{\pi}{6} + i sin\frac{\pi}{6}) \\
z^{24} = 2^{24} (cos 4\pi + isin4\pi) = 2^{24}}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}-i}{3+2i}=\frac{(\sqrt{3}+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=}\)

[Yaro88]

Pytanie
a w tym pierwszym nie bedzie czasem \(\displaystyle{ \phi= \frac{11\pi}{6}}\) i analogicznie
\(\displaystyle{ z=2(\cos \frac{11\pi}{6} +i\sin \frac{11\pi}{6}}\)? Wynik niby zostanie ten sam

[Wasilewski]

Nie, bo wtedy cosinus byłby ujemny, choć ja też źle zrobiłem, bo powinno być:
\(\displaystyle{ \phi = - \frac{\pi}{6}}\)

[Yaro88]

Aha, nie no tak sie tylko pytam bo znalazlem identyczny przyklad w ksiazce i tam wlasnie jest taka zamiana, \(\displaystyle{ \phi=330^{o}=\frac{11\pi}{6}}\).

[Wasilewski]

O kurczę, chyba już czytać nie umiem, oczywiście, że może tak być, bo to w gruncie rzeczy to ten sam kąt.

[Yaro88]

To w takim razie jeszcze jedna rzecz, czemu cosinus jest ujemny jezeli to chyba wyszlo na 4 cwiartke :> ?
a w tym drugim dochodze do momentu \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3}-3i -2i\sqrt{3}-2 }{13}}\)

[natkoza]

no to teraz grupujemy wyrazy w liczniku i przedstawiamy liczbe w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\)

[Wasilewski]

Cosinus jest oczywiście dodatni, a sinus ujemny i ja nie umiem czytać.