cos 2/5 pi
-
miss.waikiki
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 28 sty 2008, o 14:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Waikiki
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
cos 2/5 pi
Zadanie: Wywnioskować ile wynosi \(\displaystyle{ \cos \frac{2}{5}\pi}\). Oczywiście wykorzystując wiedzę na temat liczb zespolonych.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
cos 2/5 pi
Suma pierwiastków równania \(\displaystyle{ z^5=1}\) jest równa zero, stąd także suma części rzeczywistych tych pierwiastków jest równa zero, czyli:
\(\displaystyle{ 1+\cos \frac{2 \pi}{5} +\cos \frac{4 \pi}{5}+\cos \frac{6 \pi}{5} +\cos \frac{8 \pi}{5} =0}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ t= \cos \frac{2 \pi}{5}}\) oraz biorąc pod uwagę to, że \(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} =\cos \frac{6 \pi}{5}}\), \(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi}{5} =\cos \frac{8 \pi}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} =2 \cos^2 \frac{2 \pi}{5} -1}\), dostaniemy równanie:
\(\displaystyle{ 4t^2+2t-1=0}\)
Szukany cosinus jest dodatni, więc jest dodatnim pierwiastkiem tego równania, czyli:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}}\).
Q.
\(\displaystyle{ 1+\cos \frac{2 \pi}{5} +\cos \frac{4 \pi}{5}+\cos \frac{6 \pi}{5} +\cos \frac{8 \pi}{5} =0}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ t= \cos \frac{2 \pi}{5}}\) oraz biorąc pod uwagę to, że \(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} =\cos \frac{6 \pi}{5}}\), \(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi}{5} =\cos \frac{8 \pi}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} =2 \cos^2 \frac{2 \pi}{5} -1}\), dostaniemy równanie:
\(\displaystyle{ 4t^2+2t-1=0}\)
Szukany cosinus jest dodatni, więc jest dodatnim pierwiastkiem tego równania, czyli:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}}\).
Q.