zadanie z liczb zespolonych

[dd0_0bb]

rozwiązać:
\(\displaystyle{ \mathrm{Im}\left(\frac{2i-2}{i- \sqrt{3} }\right)^{24}}\)

[danrok]

Zamieniamy na postacie trygonometryczne:

\(\displaystyle{ r_{1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi=\frac{-\sqrt{2}}{2} \ sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{3\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=2\sqrt{2}(cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4})}\)

\(\displaystyle{ r_{2}=2}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=2(cos\frac{5\pi}{6}+isin\frac{5\pi}{6})}\)

\(\displaystyle{ z_{1}^{24}=(2\sqrt{2})^{24}(cos18\pi+isin18\pi)=(2\sqrt{2})^{24}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}^{24}=2^{24}(cos20\pi+isin20\pi)=2^{24}}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{Im}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\mathrm{Im}\left(\frac{(2\sqrt{2})^{24}}{2^{24}}\right)=0}\)

Mogłem się pomylić, bo wynik dziwny jak dla mnie.

[dd0_0bb]

to nie wyjdzie przypadkiem pierwiastek z 2 do 24? a nie ma jakiejs innej metody rozwiazania tego?:P

[danrok]

No ale szukasz części urojonej, więc ona równa się \(\displaystyle{ 0}\).

[dd0_0bb]

nierozuiem troche tego, to co w takim razie co by sie nie pojawiło tam to bedzie zero? czy chodzi o to ze jezeli pojawi sie wynik z i to wtedy to jest rozwiazaniem a to co mowiłem ze to by było dwa ".." to by był taki wynik gdybysmy realis szukali z tego?;p

[Szemek]

pytanie po co przed nawiasem stoi \(\displaystyle{ Im}\) (ang. Imaginary part of the complex number - część urojona liczby zespolonej)
jakby było \(\displaystyle{ Re...}\) (ang. Real part of the complex number - część rzeczywista liczby zespolonej) to wynik \(\displaystyle{ (\sqrt{2})^{24} = 2^{12}}\)

\(\displaystyle{ z=2^{12}+0i}\)