Zadanka z Algebry, a konkretniej z liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Bill_Kazmaier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 30 gru 2007, o 15:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Universe

Zadanka z Algebry, a konkretniej z liczb zespolonych

Post autor: Bill_Kazmaier »

Mam kilka ciekawych zadanek z liczb zespolonych i jestem ciekawy, czy ktos potrafi mi pomoc i je rozwiazac.
Zad.1. Pokazac, ze wielomian \(\displaystyle{ z^{3m}+z^{3n+1}+z^{3p+2}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ z^{2}+z+1}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m,n,p N}\). Uwaga: wielomiany zmiennych zespolonych.
Zad.2. Niech \(\displaystyle{ z_{1},z_{2},z_{3} C}\) beda wierzcholkami zorientowanego ujemnie trojkata. Pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ z_{1} \overline{z}_{2}=z_{2} \overline{z}_{3}=z_{3} \overline{z}_{1}}\) to trojkat \(\displaystyle{ z_{1}z_{2}z_{3}}\) jest rownoboczny, a jesli trojkat \(\displaystyle{ z_{1}z_{2}z_{3}}\) jest rownoboczny, to \(\displaystyle{ z_{2}-z_{1}=\varepsilon(z_{3}-z_{1})}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}}\). Uwaga: \(\displaystyle{ C}\) oznacza liczby zespolone, a nie calkowite i nie pytajcie sie mnie, co oznacza trojkat zorientowany ujemnie, bo nie mam pojecia.
Prosze o szybkie rozwiazanie. Zadanka te sa mi bardzo potrzebne.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Zadanka z Algebry, a konkretniej z liczb zespolonych

Post autor: mol_ksiazkowy »

ad1 wsk \(\displaystyle{ z^{3m}+z^{3n+1}+z^{3p+2}=z^{3m}+z^{3m+1}+z^{3m+2} +(z^{3n+1}-z^{3m+1})+(z^{3p+2}- z^{3m+2})}\)
ODPOWIEDZ