Dla jakich rozwiazan liczba jest rzeczywista lub urojona

[bzium]

Witam, mam znalezc wszystkie rozwiazania dla ktorych \(\displaystyle{ w= \frac{z+4}{z-2i}}\) jest czysto 1.urojona 2.rzeczywista.
Rozwiazuje to tak:
\(\displaystyle{ w= \frac{z+4}{z-2i}= \frac{x+iy+4}{x-i(2-y)}= \frac{(x+iy+4)(x+i(2-y))}{ x^{2}-(2-y)^{2} }= \frac{ x^{2}+xi(2-y)+iyx-y(2-y)+4x+4i(2-y) }{...}= \frac{ x^{2}-y(2-y)+4x }{...}+i \frac{x(2-y)+yx+4(2-y)}{...}}\)

Teraz obliczam kiedy jest rzeczywista:
\(\displaystyle{ Imw=0\\
x(2-y)+yx+8-4y=0\\
2x+8-4y=0\\
y= \frac{x-4}{2}}\)
Czyli prosta przecinająca oś urojoną w -2i.
Wiekszy problem mam z wyliczeniem kiedy jest urojona, bo mam cos takiego \(\displaystyle{ x^{2}-y(2-y)+4x=0}\) i nie wiem co z tym zrobic.

Prosze o sprawdzenie czy powyzsze rozwiazanie jest ogolnie dobre i jesli tak, co dalej mam zrobic. Pozdrawiam

[Titek-the-grey]

W 1. zrobiles blad w mianowniku, powinno byc \(\displaystyle{ x^2+(2-y)^2}\). Poza tym na samym koncu zle przeniosles... wynik powinien Ci wyjsc \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x+2}\).
A w 2. wystarczy, ze jedna zmienna potraktujesz jako parametr (np. niech y-parametr. \(\displaystyle{ y R}\). Wtedy liczysz normalne rownanie kwadratowe wzggledem x. Powinno Ci wyjsc \(\displaystyle{ x= 2+ \sqrt{4-y^2+2y}}\). Po przeniesieniu, z potegowaniu i zastosowaniu wzoru skroconego mnozenia otrzymujesz rownanie okregu \(\displaystyle{ (x+2)^2+(y-1)^2=5}\). Czyli sa to wszystkie punkty lezace na okregu o srodku w punkcie (-2,1) i promieniu 5.

[bzium]

I wszystko jasne, dziekuje za pomoc, pozdrawiam.