rownianie kwadratowe ;/

[Daisyy]

mam problem z tymui liczbami zespolonymi ;/ czy ktos moglby mi lopatologicznie rozwiazac to rownanie?? tak zebym wiedziala co z czego i jak.. z gory dziekuje

\(\displaystyle{ z^{2}-3z+3+i=0}\)

[natkoza]

na początek policzmy wyróznik \(\displaystyle{ \Delta}\) tego trójmianu:
\(\displaystyle{ \Delta=9-4\cdot 1 (3+i)=9-12-4i=-3-4i}\)
teraz musimy znaleźc pierwiastki z wyróżnika, czyli takie liczby, które podniesione do kwadratu dadzą nam naszą delte.. czyli załóżmy, że te liczby sa postaci \(\displaystyle{ c=a+bi}\)
Zatem liczby c muszą spełniać równanie:
\(\displaystyle{ c^2=-3-4i}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=-3-4i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=-3-4i \begin{cases} a^2-b^2=-3\\2abi=-4i\end{cases} \begin{cases} a^2-b^2=-3\\ab=-2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^2-b^2=-3\\a=\frac{-2}{b}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} (\frac{-2}{b})^2-b^2=-3\\a=\frac{-2}{b}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac{4}{b^2}-b^2=-3\\a=\frac{-2}{b}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4-b^4=-3b^2\\a=\frac{-2}{b}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -b^4+3b^2+4=0\\a=\frac{-2}{b}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=2 b=-2\\a=\frac{-2}{2}\vee a=\frac{-2}{-2}\end{cases} \begin{cases} b=2 b=-2\\a=-1\vee a=1\end{cases}}\)
czyli pierwiastki z delty mają postać: \(\displaystyle{ c_1=-1+2i, c_2=1-2i}\)
teraz wystarczy już tylko podstawić do znanego wzoru, rozwiązania mają postać: \(\displaystyle{ x_1=\frac{-b-c_1}{2a}\\
x_2=\frac{-b-c_2}{2a}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) są oczywiscie odwoiedznimi współczynnikami tego wielomianu

[Daisyy]

nie wime skad sie wzielo to b=2 oraz b = -2

oraz kompletnie nie wiem jak sie wyliczylo ten pierwiastek z delty :(:(:(:(:(:(:(

[natkoza]

nie chciało mi się tego już rozpisywac, ale na osobnej kartce wziełam i rozwiazałam równanie dwykwadratowe podstawiając \(\displaystyle{ t:= b^2}\), a ponieważ \(\displaystyle{ a,b\in R}\) to jedynymi rozwiazaniami sa \(\displaystyle{ b=2 b=-2}\)
bo zauważ, że \(\displaystyle{ -t^2+3t+4=0 (t+1)(t-4)=0 (b^2+1)(b^2-4)=0 (b^2+1)(b-2)(b+2)=0}\)
pierwszy nawias jest już nierozkładalny w liczbach rzeczywistych wiec wychodzi tak jak napisałam wczesniej
a metode wyliczania pierwiastka z delty ci opisałam krok po kroku

[Daisyy]

a jak wylicza sie pierwiastki?? :(:(

[natkoza]

aby wyliczyć pierwisatki z delty szukasz takich liczb postaci \(\displaystyle{ a+bi}\)gdzie \(\displaystyle{ a,b\in R}\), że \(\displaystyle{ \Delta=(a+bi)^2}\) czyli rozwiązujesz układ równań