Potęgowanie liczby zespolonej

[qsiaq]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania

\(\displaystyle{ (1+i \sqrt{3} )^{1978}}\)

[Baca48]

\(\displaystyle{ z = 1+i \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \left| z \right| = 2}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac {\pi}{3}}\)



\(\displaystyle{ z^{1978} = 2^{1978} (cos (1978 \frac {\pi}{3}) + i sin (1978 \frac {\pi}{3}))}\)

\(\displaystyle{ z^{1978} = 2^{1978} (- \frac {1}{2}) + 2^{1978} (- \frac { \sqrt{3} }{2}) i}\)

\(\displaystyle{ z^{1978} = - 2^{1977} - 2^{1977} \sqrt{3}i}\)



\(\displaystyle{ (1+i \sqrt{3})^{1978} = - 2^{1977} - 2^{1977} \sqrt{3}i}\)

[pysia180]

a skad obliczyles ze ni to pi przez 3 ;/;/[/code]

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ z = a + bi = |z|(\frac{a}{|z|} + i\frac{b}{|z|}) \\
|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4} = 2 \\
\frac{a}{|z|} = cos \varphi = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{3}}\)
Dalej z wzoru de Moivre'a.

[pysia180]

aha dzieki za pomoc