równanie-liczby zespolone

[niezapominajka1]

Mam rozwiązać równianie:
\(\displaystyle{ z^6=8}\)

wiem że \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
więc: \(\displaystyle{ (x-iy)^6=8}\)

co z tym dalej??

[redemptorek]

można to chyba sprowadzić do znalezienia pierwiastków zespolonych 6. stopnia z 8...

[Szemek]

\(\displaystyle{ z^6=8}\)
\(\displaystyle{ z^6-8=0}\)
wykorzystując wzór skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ (z^2-2)(z^4+2z^2+4)=0}\)
\(\displaystyle{ (z-\sqrt{2})(z+\sqrt{2})(z^4+2z^2+4)=0}\)

\(\displaystyle{ z^4+2z^2+4=0}\)
\(\displaystyle{ t=z^2}\)
\(\displaystyle{ t^2+2t+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_t = 4 - 16}\)
\(\displaystyle{ \Delta_t = -12}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta_t} = 2\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-2+2\sqrt{3}i}{2}}\)
\(\displaystyle{ t=-1-\sqrt{3}i t=-1+\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z^2=-1-\sqrt{3}i z^2=-1+\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z= -\sqrt{-1-\sqrt{3}i} z= \sqrt{-1-\sqrt{3}i} z=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i} z=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}}\)

\(\displaystyle{ z=\sqrt{2} z=-\sqrt{2} z= -\sqrt{-1-\sqrt{3}i} z= \sqrt{-1-\sqrt{3}i} z=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i} z=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}}\)

dobrze ?