pierwiatki z 1

[mariusz198787]

Witam!!!

mam pewien problem z takim zadaniem

ILE JEST PIERWIASTKOW DWUNASTEWGO STOPNIA Z 1 , KTORE NIE SA JEDNOCZESNIE PIERWIASTKAMI Z 1 STOPNIA MNIEJSZEGO NIŻ 12

bo chyba nie chodzi o to zeby wszystkie te pierwiastki policzyc i sprawdzic ktore ten warunek sprawdzaja

[Rogal]

Interesują nas rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ z^{12} - 1 = (z^{6}-1)(z^{6}+1)= (z^{6}-1)(z^{2}+1)(z^{4}-z^{2}+1)= 0}\)
W pierwszym nawiasie są wszystkie pierwiastki szóstego stopnia z jedynki, w drugim mamy pierwiastki kwadratowe z -1, które są jednocześnie pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki, natomiast trzeci nawias wygląda dość dziewiczo i raczej te cztery pierwiastki, które go zerują nie będą pierwiastkami z jedynki niższego stopnia.
Można to również zgrabnie zaatakować z de Moivre'a i wtedy te pierwiastki, które mają w sobie sinus i cosinus piętnastu stopni nie mogą być pierwiastkami niższych stopni z jedynki.

[mariusz198787]

aha;/

[Qń]

Generalnie jest tak: równanie \(\displaystyle{ z^n=1}\) ma \(\displaystyle{ \phi (n)}\) pierwiastków pierwotnych.

Pierwiastek pierwotny to właśnie taki, który nie jest pierwiastkiem niższego stopnia z 1, a \(\displaystyle{ \phi (n)}\) to funkcja Eulera oznaczająca ilość liczb mniejszych od \(\displaystyle{ n}\) i względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\). Powyższej własności dowodzi się w miarę prosto, proponuję spróbować w ramach ćwiczenia.

W naszym wypadku liczb naturalnych względnie pierwszych z 12 i mniejszych odeń są cztery: 1,5,7,11. Tyle też właśnie jest pierwiastków pierwotnych z 12.

Pozdrawiam.
Qń.

[mariusz198787]

no to rozumiem:)thx