Pierwiastki wielomianu C60[z]

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Majkel88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 sty 2008, o 13:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Pierwiastki wielomianu C60[z]

Post autor: Majkel88 »

Prosze o pomoc w zadanku:
Ile różnych pierwiastkow zespolonych ma podany wielomian w(z):
\(\displaystyle{ w(z)=z^{60}+z^{45}+z^{30}+z^{15}}\)
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastki wielomianu C60[z]

Post autor: Rogal »

z do piętnastej przed nawias, to będzie jeden z pierwiastków o krotności piętnaście, natomiast to, co zostanie w nawiasie będzie miało cztery pierwiastki i raczej każdy różny od siebie - można je łatwo policzyć.
Majkel88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 sty 2008, o 13:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Pierwiastki wielomianu C60[z]

Post autor: Majkel88 »

Tak ale teoretycznie wielomian stopnia n ma n pierwiastkow w dziedzinie zespolonej a odnajduje wlasnie te 19 (15 x 0 + te 4) a gdzie reszta 41 pierwiastkow ?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Pierwiastki wielomianu C60[z]

Post autor: »

\(\displaystyle{ W(z)=z^{60}+z^{45}+z^{30}+z^{15} =
z^{15} (z^{30}+1) (z^{15}+1)}\)

Mamy więc 46 pierwiastków zespolonych (bo jak łatwo sprawdzić pierwiastki piętnastego stopnia z -1 są różne od pierwiastków trzydziestego stopnia z -1).

Pozdrawiam.
Qń.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastki wielomianu C60[z]

Post autor: Rogal »

Pomyliłem się w patrzeniu, więc może lepiej będzie, jak ja to napiszę:
\(\displaystyle{ z^{15} = t \\ t^{4} + t^{3} + t^{2} + t = 0 \\ t(t^{3}+t^{2}+t+1) = 0 \\ t(t^{2}(t+1)+t+1) = 0 \\ t(t+1)(t^{2}+1) = 0 \\ t_{1} = 0, \ t_{2} = -1, \ t_{3} = i, \ t_{4} = -i}\)
I teraz jak się wróci do podstawienia, to po spierwiastkowaniu pierwszego 0 dostaniemy zero i ono jest krotności piętnaście, czyli załatwia nam to piętnaście możliwych pierwiastków, jednak różnych jest jak widzimy tylko jeden.
Większy problem jest natomiast z resztą pierwiastków. Zapiszmy to sobie tak:
\(\displaystyle{ (z^15+1)(z^30+1) = 0 \\ (z^{5}+1)(z^{10}-z^{5}+1)(z^{10}+1)(z^{20}-z^{10}+1) = 0}\)
Teraz jak się na to dobrze spojrzy, to pierwszy nawias ma pięć różnych pierwiastków, w drugim można je wyznaczyć, ale tak na oko będzie ich 10, w trzecim nawiasie też jest 10 pierwiastków (chyba;p), natomiast czwarty... Z czwartym jest gorzej. Jakbym musiał takie zadanie zrobić i nic bym do tego sensownego nie wymyślił, to policzyłbym wszystkie te pierwiastki z postaci trygonometrycznej. Ale jak tak bym użył intuicji do tych równań, to bym stwierdził, że każde z wypisanych ma inne rozwiązania od pozostałych, ale intuicja bywa zawodna i nie jest żadnym dowodem ; )
ODPOWIEDZ